Το "Quasiconcave" είναι μια μαθηματική έννοια που έχει πολλές εφαρμογές στα οικονομικά. Για να κατανοήσουμε τη σημασία των εφαρμογών του όρου στην οικονομία, είναι χρήσιμο να αρχίσουμε με μια σύντομη εξέταση της προέλευσης και της σημασίας του όρου στα μαθηματικά.
Προέλευση του όρου
Ο όρος "quasiconcave" εισήχθη στις αρχές του 20ου αιώνα στο έργο του John von Neumann, του Werner Fenchel και του Bruno de Finetti, όλοι οι εξέχοντες μαθηματικοί με ενδιαφέροντα τόσο σε θεωρητικά όσο και σε εφαρμοσμένα μαθηματικά. Η έρευνα τους σε τομείς όπως η θεωρία των πιθανοτήτων, η θεωρία των παιχνιδιών και η τοπολογία έθεσε τελικά τη βάση για ένα ανεξάρτητο ερευνητικό πεδίο γνωστό ως "γενικευμένη κυρτότητα". Ενώ ο όρος "quasiconcave: έχει εφαρμογές σε πολλούς τομείς, συμπεριλαμβανομένου Οικονομικά, προέρχεται από το πεδίο της γενικευμένης κυρτότητας ως τοπολογική έννοια.
Ορισμός της τοπολογίας
Η σύντομη και ευανάγνωστη ερμηνεία της τοπολογίας από τον Καθηγητή του Πανεπιστημίου του Wayne Staten Mathematics του Robert Bruner ξεκινά με την κατανόηση ότι η τοπολογία είναι μια ειδική μορφή
γεωμετρία. Αυτό που διαφοροποιεί την τοπολογία από άλλες γεωμετρικές μελέτες είναι ότι η τοπολογία αντιμετωπίζει τα γεωμετρικά σχήματα ως ύπαρξη ουσιαστικά ("τοπολογικώς") ισοδύναμο εάν, κάνοντας κάμψη, στρίψιμο και αλλιώς παραμορφώνοντάς το, μπορείτε να το μετατρέψετε σε το άλλο.Αυτό ακούγεται λίγο περίεργο, αλλά σκεφτείτε ότι αν πάρετε έναν κύκλο και αρχίσετε να σκουπίζετε από τέσσερις κατευθύνσεις, με προσεκτική κοπή μπορείτε να φτιάξετε ένα τετράγωνο. Επομένως, ένα τετράγωνο και ένας κύκλος είναι τοπολογικά ισοδύναμοι. Ομοίως, αν κάμψετε μια πλευρά ενός τριγώνου μέχρι να δημιουργήσετε μια άλλη γωνία κάπου εκείνη την πλευρά, με περισσότερη κάμψη, ώθηση και τράβηγμα, μπορείτε να γυρίσετε ένα τρίγωνο σε ένα τετράγωνο. Και πάλι, ένα τρίγωνο και ένα τετράγωνο είναι ισοδύναμα τοπολογικά.
Quasiconcave ως τοπολογική ιδιοκτησία
Το Quasiconcave είναι μια τοπολογική ιδιοκτησία που περιλαμβάνει κοίλωμα. Εάν γράψετε μια μαθηματική συνάρτηση και το γράφημα μοιάζει περισσότερο ή λιγότερο με ένα άσχημα φτιαγμένο κύπελλο με λίγες ανωμαλίες σε αυτό, αλλά εξακολουθεί να έχει μια κατάθλιψη στο κέντρο και δύο άκρες που κλίνουν προς τα πάνω, δηλαδή μια λειτουργία quasiconcave.
Αποδεικνύεται ότι μια κοίλη συνάρτηση είναι απλώς μια συγκεκριμένη περίπτωση μιας λειτουργίας quasiconcave-μια χωρίς τις εξογκώματα. Από την προοπτική ενός λαϊκού (ένας μαθηματικός έχει έναν πιο αυστηρό τρόπο έκφρασής του), μια quasiconcave λειτουργία περιλαμβάνει όλες τις κοίλες συναρτήσεις και όλες τις λειτουργίες που συνολικά είναι κοίλες αλλά μπορεί να έχουν τμήματα που είναι στην πραγματικότητα κυρτός. Και πάλι, απεικονίστε ένα άσχημα φτιαγμένο κύπελλο με λίγες εξογκώματα και προεξοχές σε αυτό.
Εφαρμογές στα Οικονομικά
Ένας τρόπος μαθηματικής εκπροσώπησης των προτιμήσεων των καταναλωτών (καθώς και πολλών άλλων συμπεριφορών) είναι με ένα λειτουργία χρησιμότητας. Εάν, για παράδειγμα, οι καταναλωτές προτιμούν το καλό Α στο καλό Β, η συνάρτηση χρησιμότητας U εκφράζει αυτή την προτίμηση ως:
U (A)> U (Β)
Εάν καταγράψετε αυτή τη λειτουργία για ένα σύνολο καταναλωτών και αγαθών πραγματικού κόσμου, μπορεί να διαπιστώσετε ότι το γράφημα μοιάζει λίγο με ένα μπολ και όχι με μια ευθεία γραμμή. Αυτή η ανατροπή αντιπροσωπεύει γενικά την αποστροφή των καταναλωτών στον κίνδυνο. Και πάλι, στον πραγματικό κόσμο, αυτή η αποστροφή δεν είναι συνεπής: η γραφική παράσταση των προτιμήσεων των καταναλωτών μοιάζει λίγο σαν ένα ατελές κύπελλο, ένα με αρκετές ανωμαλίες σε αυτό. Αντί να είναι κοίλη, τότε είναι γενικά κοίλη αλλά όχι τέλεια σε κάθε σημείο του γραφήματος, που μπορεί να έχει μικρά τμήματα κυρτότητας.
Με άλλα λόγια, το γράφημα παραδείγματος των προτιμήσεων των καταναλωτών (όπως πολλά παραδείγματα πραγματικού κόσμου) είναι quasiconcave. Λένε σε όποιον θέλει να μάθει περισσότερα για τη συμπεριφορά των καταναλωτών - οι οικονομολόγοι και οι εταιρείες που πωλούν καταναλωτικά αγαθά, για παράδειγμα - πού και πώς οι πελάτες ανταποκρίνονται στις αλλαγές σε καλά ποσά ή κόστος.