Εύρεση συνθηκών για επιστροφές συντελεστών και επιστροφές κλίμακας

Μια επιστροφή παράγοντα είναι η απόδοση που αποδίδεται σε ένα συγκεκριμένο κοινό παράγοντα, ή ένα στοιχείο που επηρεάζει πολλούς περιουσιακά στοιχεία που μπορεί να περιλαμβάνουν παράγοντες όπως η κεφαλαιοποίηση της αγοράς, η απόδοση μερισμάτων και οι δείκτες κινδύνου, για να αναφέρουμε μερικές. Οι επιστροφές στην κλίμακα, από την άλλη πλευρά, αναφέρονται στο τι συμβαίνει καθώς η κλίμακα της παραγωγής αυξάνεται μακροπρόθεσμα, καθώς όλες οι εισροές είναι μεταβλητές. Με άλλα λόγια, οι αποδόσεις κλίμακας αντιπροσωπεύουν τη μεταβολή στην έξοδο από μια αναλογική αύξηση όλων των εισροών.

Για να θέσουμε σε εφαρμογή αυτές τις έννοιες, ας ρίξουμε μια ματιά σε μια λειτουργία παραγωγής με ένα παράγοντα επιστρέφει και το μέγεθος επιστρέφει πρακτική πρόβλημα.

Σκεψου το λειτουργία παραγωγήςQ = K^έναμεγάλο^σι.

Ως σπουδαστής οικονομικών, μπορεί να σας ζητηθεί να βρείτε συνθήκες ένα και σι έτσι ώστε η λειτουργία παραγωγής να παρουσιάζει μειωμένες αποδόσεις σε κάθε παράγοντα, αλλά αύξηση των αποδόσεων στην κλίμακα. Ας δούμε πώς θα μπορούσατε να πλησιάσετε αυτό.

Θυμηθείτε ότι στο άρθρο Αύξηση, μείωση και σταθερή επιστροφή στη κλίμακα ότι μπορούμε εύκολα να απαντήσουμε σε αυτές τις αποδόσεις παράγοντα και την κλίμακα επιστρέφει ερωτήσεις απλά διπλασιάζοντας τους απαραίτητους παράγοντες και κάνοντας κάποιες απλές αντικαταστάσεις.

Αύξηση επιστρέφει στην κλίμακα θα είναι όταν διπλασιάζουμε όλα παράγοντες και η παραγωγή υπερδιπλασιάζεται. Στο παράδειγμά μας έχουμε δύο παράγοντες K και L, έτσι θα διπλασιάσουμε τα K και L και θα δούμε τι συμβαίνει:

Q = K^έναμεγάλο^σι

Τώρα αφήνει διπλούς όλους τους παράγοντες μας, και ονομάζουμε αυτή τη νέα λειτουργία παραγωγής Q '

Q '= (2Κ)^ένα(2L)^σι

Η αναδιάταξη οδηγεί σε:

Q '= 2^{α + β}κ^έναμεγάλο^σι

Τώρα μπορούμε να αντικαταστήσουμε την αρχική λειτουργία παραγωγής μας, Q:

Q '= 2^{α + β}Q

Για να πάρουμε Q '> 2Q, χρειαζόμαστε 2^{(α + β)} > 2. Αυτό συμβαίνει όταν a + b> 1.

Όσο a + b> 1, θα έχουμε αυξανόμενες αποδόσεις στην κλίμακα.

Αλλά ανάμεσά μας πρόβλημα πρακτικής, χρειαζόμαστε επίσης μειούμενες αποδόσεις στην κλίμακα στο κάθε παράγοντα. Οι μειούμενες αποδόσεις για κάθε παράγοντα εμφανίζονται όταν διπλασιάζουμε μόνο ένας παράγοντας, και η παραγωγή λιγότερο από διπλασιάζεται. Ας το δοκιμάσουμε πρώτα για το K χρησιμοποιώντας την αρχική λειτουργία παραγωγής: Q = K^έναμεγάλο^σι

Τώρα αφήνει διπλό K, και ονομάζεται αυτή η νέα λειτουργία παραγωγής Q '

Q '= (2Κ)^έναμεγάλο^σι

Η αναδιάταξη οδηγεί σε:

Q '= 2^ένακ^έναμεγάλο^σι

Τώρα μπορούμε να αντικαταστήσουμε την αρχική λειτουργία παραγωγής μας, Q:

Q '= 2^έναQ

Για να πάρουμε 2Q> Q '(δεδομένου ότι θέλουμε μειούμενες αποδόσεις για αυτόν τον παράγοντα), χρειαζόμαστε 2> 2^ένα. Αυτό συμβαίνει όταν 1> a.

Το μαθηματικό είναι παρόμοιο για τον παράγοντα L όταν εξετάζεται η αρχική συνάρτηση παραγωγής: Q = K^έναμεγάλο^σι

Τώρα αφήνει διπλό L, και ονομάζεται αυτή η νέα λειτουργία παραγωγής Q '

Q '= Κ^ένα(2L)^σι

Η αναδιάταξη οδηγεί σε:

Q '= 2^σικ^έναμεγάλο^σι

Τώρα μπορούμε να αντικαταστήσουμε την αρχική λειτουργία παραγωγής μας, Q:

Q '= 2^σιQ

Για να πάρουμε 2Q> Q '(δεδομένου ότι θέλουμε μειούμενες αποδόσεις για αυτόν τον παράγοντα), χρειαζόμαστε 2> 2^ένα. Αυτό συμβαίνει όταν 1> b.

Έτσι υπάρχουν οι όροι σας. Χρειάζεστε ένα + b> 1, 1> a, και 1> b για να εμφανίσετε φθίνουσες αποδόσεις σε κάθε παράγοντα της συνάρτησης, αλλά αυξάνοντας τις αποδόσεις στην κλίμακα. Με παράγοντες διπλασιασμού, μπορούμε εύκολα να δημιουργήσουμε συνθήκες στις οποίες έχουμε αυξανόμενες συνολικές αποδόσεις σε κλίμακα, αλλά μειούμενες αποδόσεις σε κλίμακα σε κάθε παράγοντα.

• Ελαστικότητα του προβλήματος πρακτικής ζήτησης
• Συνολικό ζήτημα και συνολικό πρόβλημα πρακτικής εφοδιασμού