Επίλυση εξισώσεων: Εκθετική ανάπτυξη

Οι εκθετικές λειτουργίες αναφέρουν τις ιστορίες της εκρηκτικής αλλαγής. Οι δύο τύποι εκθετικών λειτουργιών είναι εκθετική αύξηση και εκθετική αποσύνθεση. Τέσσερις μεταβλητές - ποσοστιαία αλλαγή, ο χρόνος, το ποσό στην αρχή της χρονικής περιόδου και το ποσό στο τέλος της χρονικής περιόδου - παίζουν ρόλους στις εκθετικές λειτουργίες. Αυτό το άρθρο επικεντρώνεται στο πώς να χρησιμοποιήσετε προβλήματα λέξεων για να βρείτε το ποσό στην αρχή της χρονικής περιόδου, ένα.

Εκθετική ανάπτυξη: η αλλαγή που συμβαίνει όταν ένα αρχικό ποσό αυξάνεται κατά σταθερό ρυθμό για μια χρονική περίοδο

Χρήσεις της εκθετικής ανάπτυξης στην πραγματική ζωή:

• Τιμές τιμών κατοικίας
• Τιμές επενδύσεων
• Αυξημένη συμμετοχή σε έναν δημοφιλή ιστότοπο κοινωνικής δικτύωσης

Εδώ είναι μια εκθετική λειτουργία ανάπτυξης:

y = ένα(1 + β)^Χ

• y: Το τελικό ποσό παραμένει σε μια χρονική περίοδο
• ένα: Το αρχικό ποσό
• Χ: Χρόνος
• ο παράγοντας ανάπτυξης είναι (1 + σι).
• Η μεταβλητή, σι, είναι η εκατοστιαία μεταβολή σε δεκαδική μορφή.

Εάν διαβάζετε αυτό το άρθρο, τότε είστε μάλλον φιλόδοξοι. Έξι χρόνια μετά, ίσως θέλετε να παρακολουθήσετε ένα προπτυχιακό δίπλωμα στο Πανεπιστήμιο Dream. Με μια τιμή αξίας 120.000 δολαρίων, το Πανεπιστήμιο Dream προκαλεί οικονομικές νυχτερινές θρησκείες. Μετά τις άστεγες νύχτες, εσείς, η μαμά και ο μπαμπάς συναντηθείτε με έναν οικονομικό προγραμματιστή. Τα αιματηρά μάτια των γονέων σας ξεκαθαρίζουν όταν ο προγραμματιστής αποκαλύπτει μια επένδυση με ρυθμό ανάπτυξης 8% που μπορεί να βοηθήσει την οικογένειά σας να φτάσει το στόχο των 120.000 δολαρίων. Μελετώ σκληρά. Εάν εσείς και οι γονείς σας επενδύσετε σήμερα 75.620,36 δολάρια, τότε το Dream University θα γίνει πραγματικότητα σας.

Αυτή η λειτουργία περιγράφει την εκθετική αύξηση της επένδυσης:

120,000 = ένα(1 +.08)⁶

• 120.000: Το τελικό ποσό παραμένει μετά από 6 χρόνια
• .08: Ετήσιος ρυθμός ανάπτυξης
• 6: Ο αριθμός των ετών για την ανάπτυξη της επένδυσης
• α: Το αρχικό ποσό που επένδυσε η οικογένειά σας

Ιχνος: Χάρη στην συμμετρική ιδιότητα της ισότητας, 120.000 = ένα(1 +.08)⁶ είναι το ίδιο με ένα(1 +.08)⁶ = 120,000. (Συμμετρική ιδιότητα ισότητας: Εάν 10 + 5 = 15, τότε 15 = 10 +5.)

Εάν προτιμάτε να ξαναγράψετε την εξίσωση με τη σταθερά, 120.000, στα δεξιά της εξίσωσης, τότε το κάνετε.

ένα(1 +.08)⁶ = 120,000

Η εξίσωση δεν μοιάζει με γραμμική εξίσωση (6ένα = 120.000 δολάρια), αλλά είναι ρεαλιστικό. Stick με αυτό!

ένα(1 +.08)⁶ = 120,000

Προσέξτε: Μην λύσετε αυτή την εκθετική εξίσωση διαιρώντας 120.000 με 6. Είναι ένα δελεαστικό μαθηματικό όχι όχι.

1. Χρήση Διάταξη των εργασιών να απλοποιηθεί.

ένα(1 +.08)⁶ = 120,000
ένα(1.08)⁶ = 120.000 (Παρενθέσεις)
ένα(1.586874323) = 120.000 (εκθέτης)

2. Επίλυση με διαίρεση

ένα(1.586874323) = 120,000
ένα(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)
1ένα = 75,620.35523
ένα = 75,620.35523

Το αρχικό ποσό που θα επενδύσει είναι περίπου 75.620,36 δολάρια.

3. Πάγωμα - δεν έχετε κάνει ακόμα. Χρησιμοποιήστε τη σειρά εργασιών για να ελέγξετε την απάντησή σας.

120,000 = ένα(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (Παρένθεση)
120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (Εκθέτης)
120.000 = 120.000 (Πολλαπλασιασμός)

Αρχικό φύλλο εργασίας

Αγρότης και φίλοι
Χρησιμοποιήστε τις πληροφορίες σχετικά με τον ιστότοπο κοινωνικής δικτύωσης του αγρότη για να απαντήσετε στις ερωτήσεις 1-5.

Ένας αγρότης ξεκίνησε ένα site κοινωνικής δικτύωσης, farmerandfriends.org, που μοιράζεται συμβουλές για την κηπουρική στην αυλή. Όταν το farmerandfriends.org επέτρεψε στα μέλη να δημοσιεύσουν φωτογραφίες και βίντεο, η συμμετοχή του ιστότοπου αυξήθηκε εκθετικά. Ακολουθεί μια λειτουργία που περιγράφει αυτή την εκθετική ανάπτυξη.

120,000 = ένα(1 + .40)⁶

1. Πόσα άτομα ανήκουν στο farmerandfriends.org 6 μήνες μετά την ενεργοποίηση της κοινής χρήσης φωτογραφιών και της κοινής χρήσης βίντεο; 120.000 άτομα
   Συγκρίνετε αυτή τη λειτουργία με την αρχική λειτουργία εκθετικής ανάπτυξης:
   120,000 = ένα(1 + .40)⁶
   y = ένα(1 +σι)^Χ
   Το αρχικό ποσό, y, είναι 120.000 σε αυτή τη λειτουργία σχετικά με την κοινωνική δικτύωση.
2. Η λειτουργία αυτή αντιπροσωπεύει εκθετική ανάπτυξη ή αποσύνθεση; Αυτή η συνάρτηση αντιπροσωπεύει εκθετική ανάπτυξη για δύο λόγους. Λόγος 1: Στην παράγραφο πληροφοριών προκύπτει ότι "η συμμετοχή στην ιστοσελίδα αυξήθηκε εκθετικά". Λόγος 2: Ένα θετικό πρόσημο είναι σωστό πριν σι, η μηνιαία ποσοστιαία μεταβολή.
3. Ποιο είναι το μηνιαίο ποσοστό αύξησης ή μείωσης; Η μηνιαία εκατοστιαία αύξηση είναι 40%, 0,40 γραπτά ως ποσοστό.
4. Πόσα μέλη ανήκαν στο farmerandfriends.org πριν από 6 μήνες, πριν να μοιραστούν τα βίντεο και να μοιραστούν τα βίντεο; Περίπου 15.937 μέλη
   Χρησιμοποιήστε τη σειρά λειτουργιών για απλοποίηση.
   120,000 = ένα(1.40)⁶
   120,000 = ένα(7.529536)
   Διαίρεση για επίλυση.
   120,000/7.529536 = ένα(7.529536)/7.529536
   15,937.23704 = 1ένα
   15,937.23704 = ένα
   Χρησιμοποιήστε τη σειρά των λειτουργιών για να ελέγξετε την απάντησή σας.
   120,000 = 15,937.23704(1 + .40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(1.40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(7.529536)
   120,000 = 120,000
5. Εάν συνεχίσουν αυτές οι τάσεις, πόσα μέλη θα ανήκουν στον ιστότοπο 12 μήνες μετά την εισαγωγή της κοινής χρήσης φωτογραφιών και της κοινής χρήσης βίντεο; Περίπου 903.544 μέλη
   Συνδέστε αυτό που γνωρίζετε σχετικά με τη λειτουργία. Θυμηθείτε, αυτή τη φορά έχετε ένα, το αρχικό ποσό. Είστε επίλυση για y, το ποσό που απομένει στο τέλος μιας χρονικής περιόδου.
   y = ένα(1 + .40)^Χ
   y = 15,937.23704(1+.40)¹²
   Χρησιμοποιήστε τη σειρά εντολών για να βρείτε y.
   y = 15,937.23704(1.40)¹²
   y = 15,937.23704(56.69391238)
   y = 903,544.3203