Πώς να χρησιμοποιήσετε το "Αν και μόνο εάν" στα Μαθηματικά

Όταν διαβάζουμε σχετικά με τα στατιστικά και τα μαθηματικά, μια φράση που εμφανίζεται τακτικά είναι "αν και μόνο αν." Αυτή η φράση εμφανίζεται ιδιαίτερα μέσα σε δηλώσεις μαθηματικών θεωρημάτων ή αποδείξεων. Αλλά τι ακριβώς σημαίνει αυτή η δήλωση;

Για να καταλάβουμε "αν και μόνο εάν," πρέπει πρώτα να γνωρίζουμε τι εννοείται με μια υπό όρους δήλωση. Μια υπό όρους δήλωση είναι αυτή που αποτελείται από δύο άλλες δηλώσεις, τις οποίες θα υποδείξουμε από τις P και Q. Για να σχηματίσουμε μια υπό όρους δήλωση, θα μπορούσαμε να πούμε "εάν P τότε Q."

Τα παρακάτω είναι παραδείγματα αυτού του είδους της δήλωσης:

• Αν βρέχει έξω, τότε παίρνω μαζί μου την ομπρέλα μου στη βόλτα μου.
• Αν μελετήσετε σκληρά, τότε θα κερδίσετε ένα Α.
• Αν n διαιρείται με 4, τότε n διαιρείται με 2.

Τρεις άλλες δηλώσεις σχετίζονται με οποιαδήποτε υπό όρους δήλωση. Αυτά ονομάζονται αντίστροφο, αντίστροφο και αντίθετο. Δημιουργούμε αυτές τις δηλώσεις μεταβάλλοντας τη σειρά των P και Q από την αρχική υπό όρους και εισάγοντας τη λέξη "όχι" για το αντίστροφο και αντιστρόφως.

Πρέπει μόνο να εξετάσουμε το αντίθετο εδώ. Αυτή η δήλωση προέρχεται από το πρωτότυπο λέγοντας "εάν Q τότε P." Ας υποθέσουμε ότι αρχίζουμε με τον υπό όρους "αν βρέχει έξω, τότε εγώ πάρτε την ομπρέλα μαζί μου στην βόλτα μου ». Το αντίστροφο αυτής της δήλωσης είναι "αν παίρνω μαζί μου την ομπρέλα μου στην βόλτα μου, τότε βρέχει εξω απο."

Πρέπει μόνο να εξετάσουμε αυτό το παράδειγμα για να συνειδητοποιήσουμε ότι ο αρχικός όρος δεν είναι λογικά ο ίδιος με τον αντίστροφο του. Η σύγχυση αυτών των δύο μορφών δήλωσης είναι γνωστή ως a αντίστροφο λάθος. Κάποιος μπορεί να πάρει μια ομπρέλα σε μια βόλτα, αν και δεν μπορεί να βρέχει έξω.

Για ένα άλλο παράδειγμα, θεωρούμε τον υποθετικό "Αν ένας αριθμός είναι διαιρούμενος με 4 τότε διαιρείται με το 2." Αυτή η δήλωση είναι σαφώς αληθής. Ωστόσο, αυτή η δήλωση 'Αν ένας αριθμός διαιρείται με 2, τότε είναι διαιρέσιμος με 4' είναι ψευδής. Πρέπει να εξετάσουμε μόνο έναν αριθμό όπως 6. Παρόλο που 2 διαιρεί αυτόν τον αριθμό, 4 δεν το κάνει. Ενώ η αρχική δήλωση είναι αληθής, το αντίστροφο δεν είναι.

Αυτό μας φέρνει σε μια διζωνική δήλωση, η οποία είναι επίσης γνωστή ως δήλωση "εάν και μόνο εάν". Ορισμένες δηλώσεις υπό όρους έχουν επίσης συνομιλίες που είναι αληθινές. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να σχηματίσουμε αυτό που είναι γνωστό ως δήλωση διπλωμάτων. Μια δήλωση διπλωμάτων έχει τη μορφή:

"Αν P τότε Q, και αν Q τότε P."

Από αυτό κατασκευή είναι κάπως αμήχανη, ειδικά όταν οι P και Q είναι οι δικές τους λογικές δηλώσεις, απλοποιούμε τη δήλωση ενός διζωνικού χρησιμοποιώντας τη φράση "αν και μόνο αν." Αντί να πούμε "εάν P τότε Q, και αν Q τότε P" λέμε αντί "P αν και μόνο εάν Q." Αυτή η κατασκευή εξαλείφει μερικούς πλεονασμός.

Για παράδειγμα της φράσης "αν και μόνο εάν" που περιλαμβάνει στατιστικά στοιχεία, δεν είναι παρά ένα γεγονός σχετικά με την τυπική απόκλιση του δείγματος. Η τυπική απόκλιση δείγματος ενός συνόλου δεδομένων είναι ίση με μηδέν αν και μόνο αν όλες οι τιμές των δεδομένων είναι ίδιες.

Διαχωρίζουμε αυτή τη δήλωση biconditional σε μια υπό όρους και το αντίστροφο της. Τότε βλέπουμε ότι αυτή η δήλωση σημαίνει και τα εξής:

• Εάν η τυπική απόκλιση είναι μηδέν, τότε όλες οι τιμές δεδομένων είναι ίδιες.
• Εάν όλες οι τιμές δεδομένων είναι ίδιες, τότε η τυπική απόκλιση είναι ίση με μηδέν.

Αν προσπαθούμε να αποδείξουμε ένα διωνικό, τότε τις περισσότερες φορές καταλήγουμε να το χωρίσουμε. Αυτό κάνει την απόδειξη μας να έχει δύο μέρη. Ένα μέρος που αποδεικνύουμε είναι "εάν P τότε Q." Το άλλο μέρος της απόδειξης που χρειαζόμαστε είναι "εάν Q τότε P."

Οι δηλώσεις διπλοσύνδεσης σχετίζονται με συνθήκες που είναι απαραίτητες και επαρκείς. Εξετάστε τη δήλωση "αν είναι σήμερα Πάσχα, τότε αύριο είναι Δευτέρα. " Σήμερα το Πάσχα είναι αρκετό για να είναι αύριο Δευτέρα, όμως δεν είναι απαραίτητο. Σήμερα θα μπορούσε να είναι οποιαδήποτε Κυριακή εκτός από το Πάσχα, και αύριο θα είναι ακόμα Δευτέρα.

Η φράση "αν και μόνο αν" χρησιμοποιείται αρκετά συχνά σε μαθηματική γραφή που έχει τη δική του συντομογραφία. Μερικές φορές το biconditional στη δήλωση της φράσης "αν και μόνο αν" είναι συντομευμένη απλά "iff". Έτσι η δήλωση "P αν και μόνο αν Q" γίνεται "P iff Q."