Η ενσωμάτωση μερών είναι μια από τις πολλές τεχνικές ενσωμάτωσης που χρησιμοποιούνται στο λογισμός. Αυτή η μέθοδος ενσωμάτωσης μπορεί να θεωρηθεί ως ένας τρόπος για να ανατραπεί κανόνα προϊόντος. Μία από τις δυσκολίες στη χρήση αυτής της μεθόδου είναι να καθορίσουμε ποια λειτουργία στην ενσωμάτωσή μας θα πρέπει να ταιριάζει σε ποιο μέρος. Το ακρωνύμιο LIPET μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να παρέχει κάποια καθοδήγηση σχετικά με τον τρόπο διάσπασης των τμημάτων του ολοκληρώματός μας.
Ενσωμάτωση με εξαρτήματα
Ανακαλέστε τη μέθοδο ενσωμάτωσης ανά μέρη. Ο τύπος αυτής της μεθόδου είναι:
∫ u ρεv = uv - ∫ v ρεu.
Αυτός ο τύπος δείχνει ποιο μέρος του integrand είναι ίσο με u, και ποιο μέρος να είναι ίσο με dv. Το LIPET είναι ένα εργαλείο που μπορεί να μας βοηθήσει σε αυτή την προσπάθεια.
Το ακρωνύμιο LIPET
Η λέξη "LIPET" είναι μια λέξη αρκτικόλεξο, που σημαίνει ότι κάθε γράμμα σημαίνει μια λέξη. Στην περίπτωση αυτή, τα γράμματα αντιπροσωπεύουν διαφορετικούς τύπους λειτουργιών. Αυτά τα αναγνωρίσματα είναι:
- L = Λογαριθμική λειτουργία
- I = Αντίστροφη τριγωνομετρική λειτουργία
- P = Λειτουργία πολυωνύμου
- E = Εκθετική λειτουργία
- T = Τριγωνομετρική λειτουργία
Αυτό δίνει μια συστηματική λίστα με τι να προσπαθήσετε να ορίσετε ίσο με u στην ενσωμάτωση με τον τύπο των τμημάτων. Αν υπάρχει λογαριθμική συνάρτηση, δοκιμάστε να ορίσετε αυτό το u, με το υπόλοιπο του ολοκλήραν ίσο με dv. Αν δεν υπάρχουν λειτουργίες λογαριθμικής ή αντίστροφης σκανδάλης, δοκιμάστε να ορίσετε ένα πολυώνυμο ίσο με u. Τα παρακάτω παραδείγματα συμβάλλουν στην αποσαφήνιση της χρήσης αυτού του ακρωνυμίου.
Παράδειγμα 1
Εξετάστε το ∫ Χ lnΧ ρεΧ. Δεδομένου ότι υπάρχει μια λογαριθμική συνάρτηση, ορίστε αυτή τη συνάρτηση ίση με u = ln Χ. Το υπόλοιπο της ολοκλήραν είναι dv = Χ ρεΧ. Ακολουθεί ότι du = dΧ / Χ και αυτό v = Χ2/ 2.
Αυτό το συμπέρασμα μπορεί να βρεθεί με δοκιμασία και λάθος. Η άλλη επιλογή θα ήταν να καθοριστεί u = Χ. Έτσι du θα ήταν πολύ εύκολο να υπολογιστεί. Το πρόβλημα προκύπτει όταν εξετάζουμε το dv = lnΧ. Ενσωματώστε αυτή τη λειτουργία για να προσδιορίσετε v. Δυστυχώς, είναι πολύ δύσκολο να υπολογιστεί.
Παράδειγμα 2
Εξετάστε το ολοκλήρωμα ∫ Χ cos Χ ρεΧ. Ξεκινήστε με τα δύο πρώτα γράμματα στο LIPET. Δεν υπάρχουν λογαριθμικές λειτουργίες ή αντίστροφες τριγωνομετρικές λειτουργίες. Το επόμενο γράμμα στο LIPET, ένα P, σημαίνει πολυώνυμα. Από τη λειτουργία Χ είναι ένα πολυώνυμο, σύνολο u = Χ και dv = cos Χ.
Αυτή είναι η σωστή επιλογή για την ενσωμάτωση με μέρη όπως το du = dΧ και v = αμαρτία Χ. Το ολοκλήρωμα γίνεται:
Χ αμαρτία Χ - ∫ sin Χ ρεΧ.
Αποκτήστε το ολοκλήρωμα μέσα από μια απλή ενσωμάτωση της αμαρτίας Χ.
Όταν το LIPET αποτύχει
Υπάρχουν ορισμένες περιπτώσεις όπου το LIPET αποτυγχάνει, το οποίο απαιτεί ρύθμιση u ίση με μια λειτουργία διαφορετική από εκείνη που καθορίζεται από το LIPET. Για το λόγο αυτό, αυτό το ακρωνύμιο θα πρέπει να θεωρείται ως ένας τρόπος να οργανωθούν οι σκέψεις. Το ακρωνύμιο LIPET μας παρέχει επίσης ένα περίγραμμα μιας στρατηγικής για να προσπαθήσουμε όταν χρησιμοποιούμε την ολοκλήρωση με μέρη. Δεν είναι ένα μαθηματικό θεώρημα ή αρχή που είναι πάντα ο τρόπος εργασίας μέσω ενός προβλήματος ενσωμάτωσης μερών.