Η σημασία του θεωρήματος κεντρικών ορίων

Το κεντρικό οριακό όριο είναι ένα αποτέλεσμα από θεωρία πιθανοτήτων. Αυτό το θεώρημα εμφανίζεται σε αρκετές θέσεις στον τομέα των στατιστικών. Παρόλο που το κεντρικό οριακό όριο μπορεί να φαίνεται αφηρημένο και στερείται οποιασδήποτε εφαρμογής, αυτό το θεώρημα είναι πραγματικά πολύ σημαντικό για την πρακτική των στατιστικών.

Ποια ακριβώς είναι η σημασία του κεντρικού ορίου όρων; Όλα έχουν να κάνουν με το διανομή του πληθυσμού μας. Αυτό το θεώρημα σας επιτρέπει να απλοποιήσετε τα στατιστικά προβλήματα, επιτρέποντάς σας να εργαστείτε με περίπου μια διανομή κανονικός.

Η δήλωση του κεντρικού ορίου όρων μπορεί να φανεί αρκετά τεχνική, αλλά μπορεί να γίνει κατανοητή αν σκεφτούμε τα παρακάτω βήματα. Ξεκινάμε με ένα απλό τυχαίο δείγμα με n άτομα από πληθυσμό που ενδιαφέρει. Από αυτό δείγμα, μπορούμε εύκολα να σχηματίσουμε ένα μέσο δείγματος που να αντιστοιχεί στον μέσο όρο της μέτρησης που μας ενδιαφέρει στον πληθυσμό μας.

ΕΝΑ κατανομή δειγματοληψίας για τον μέσο δείγμα παράγεται με την επανειλημμένη επιλογή απλών τυχαίων δειγμάτων από τον ίδιο πληθυσμό και το ίδιο μέγεθος και στη συνέχεια με υπολογισμό του μέσου του δείγματος για κάθε ένα από αυτά τα δείγματα. Αυτά τα δείγματα πρέπει να θεωρούνται ότι είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο.

Το κεντρικό οριακό όριο αφορά την κατανομή δειγματοληψίας των μέσων δειγματοληψίας. Μπορούμε να ρωτήσουμε για το γενικό σχήμα της κατανομής δειγματοληψίας. Το κεντρικό όριο όριο λέει ότι αυτή η κατανομή δειγματοληψίας είναι περίπου κανονική-κοινώς γνωστή ως a καμπύλη καμπάνας. Αυτή η προσέγγιση βελτιώνεται καθώς αυξάνουμε το μέγεθος των απλών τυχαίων δειγμάτων που χρησιμοποιούνται για την παραγωγή της κατανομής δειγματοληψίας.

Υπάρχει ένα πολύ εκπληκτικό χαρακτηριστικό σχετικά με το κεντρικό οριακό όριο. Το εκπληκτικό γεγονός είναι ότι αυτό το θεώρημα λέει ότι μια κανονική κατανομή προκύπτει ανεξάρτητα από την αρχική κατανομή. Ακόμα κι αν ο πληθυσμός μας έχει α λοξή η οποία συμβαίνει όταν εξετάζουμε πράγματα όπως τα εισοδήματα ή τα βάρη των ανθρώπων, μια κατανομή δειγματοληψίας για ένα δείγμα με ένα επαρκώς μεγάλο μέγεθος δείγματος θα είναι φυσιολογική.

Η απροσδόκητη εμφάνιση μιας κανονικής κατανομής από την κατανομή του πληθυσμού που είναι λοξή (ακόμη και αρκετά ανυπόφορη) έχει κάποιες πολύ σημαντικές εφαρμογές στη στατιστική πρακτική. Πολλές πρακτικές στις στατιστικές, όπως αυτές που αφορούν δοκιμή υποθέσεων ή διαστήματα εμπιστοσύνης, προβάλλουν κάποιες υποθέσεις σχετικά με τον πληθυσμό από τους οποίους προέκυψαν τα δεδομένα. Μια παραδοχή που αρχικά γίνεται σε ένα στατιστική είναι ότι οι πληθυσμοί με τους οποίους δουλεύουμε κανονικά διανέμονται.

Η υπόθεση ότι τα δεδομένα προέρχονται από ένα κανονική κατανομή απλοποιεί τα θέματα, αλλά φαίνεται λίγο ρεαλιστικό. Ακριβώς μια μικρή δουλειά με κάποια πραγματικά δεδομένα δείχνει ότι οι υπερβολές, οι λοξές, οι πολλαπλές κορυφές και η ασυμμετρία εμφανίζονται αρκετά συνηθισμένα. Μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα των δεδομένων από έναν πληθυσμό που δεν είναι φυσιολογικό. Η χρήση ενός κατάλληλου μεγέθους δείγματος και του κεντρικού θεωρήματος ορίων μας βοηθούν να ξεπεράσουμε το πρόβλημα των δεδομένων από πληθυσμούς που δεν είναι φυσιολογικοί.

Έτσι, παρόλο που ίσως να μην γνωρίζουμε τη μορφή της κατανομής από την οποία προέρχονται τα δεδομένα μας, το κεντρικό οριακό όριο λέει ότι μπορούμε να αντιμετωπίσουμε τη διανομή δειγματοληψίας σαν να ήταν φυσιολογική. Φυσικά, για να κρατήσουμε τα συμπεράσματα του θεωρήματος, χρειαζόμαστε ένα μέγεθος δείγματος αρκετά μεγάλο. Η διερευνητική ανάλυση δεδομένων μπορεί να μας βοηθήσει να προσδιορίσουμε πόσο μεγάλο είναι ένα δείγμα για μια δεδομένη κατάσταση.