Ποια είναι η ανισότητα του Markov;

Η ανισότητα του Markov είναι ένα χρήσιμο αποτέλεσμα στην πιθανότητα που δίνει πληροφορίες για ένα κατανομή πιθανότητας. Η αξιοσημείωτη πτυχή γι 'αυτό είναι ότι η ανισότητα ισχύει για οποιαδήποτε διανομή με θετικές αξίες, ανεξάρτητα από τα άλλα χαρακτηριστικά που έχει. Η ανισότητα του Markov δίνει ένα ανώτερο όριο για το ποσοστό της διανομής που είναι πάνω από μια συγκεκριμένη τιμή.

Η ανισότητα του Markov λέει ότι για μια θετική τυχαία μεταβλητή Χ και οποιαδήποτε θετική πραγματικός αριθμόςένα, την πιθανότητα ότι Χ είναι μεγαλύτερο ή ίσο με ένα είναι μικρότερη ή ίση με το αναμενόμενη αξία του Χ διαιρούμενο με ένα.

Η παραπάνω περιγραφή μπορεί να αναφερθεί πιο συνοπτικά χρησιμοποιώντας τη μαθηματική σημείωση. Στα σύμβολα, γράφουμε την ανισότητα του Markov ως:

Π (Χ ≥ ένα) ≤ μι( Χ) /ένα

Για να δείξουμε την ανισότητα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια κατανομή με μη αρνητικές αξίες (όπως a chi-τετραγωνική κατανομή). Αν αυτή η τυχαία μεταβλητή Χ έχει αναμενόμενη τιμή 3 θα εξετάσουμε τις πιθανότητες για λίγες αξίες ένα.

• Για ένα = 10 η ανισότητα Markov το λέει αυτό Π (Χ ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Επομένως, υπάρχει μια πιθανότητα 30% Χ είναι μεγαλύτερο από 10.
• Για ένα = 30 η ανισότητα Markov το λέει αυτό Π (Χ ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Επομένως υπάρχει 10% πιθανότητα Χ είναι μεγαλύτερο από 30.
• Για ένα = Ανισότητα 3 Markov το λέει αυτό Π (Χ ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Γεγονότα με πιθανότητα 1 = 100% είναι σίγουρα. Έτσι, αυτό λέει ότι κάποια τιμή της τυχαίας μεταβλητής είναι μεγαλύτερη ή ίση με 3. Αυτό δεν πρέπει να είναι εκπληκτικό. Αν όλες οι τιμές του Χ ήταν μικρότερες από 3, τότε η αναμενόμενη τιμή θα ήταν επίσης μικρότερη από 3.
• Ως αξία του ένα αυξάνει, το πηλίκο μι(Χ) /ένα θα γίνουν μικρότερες και μικρότερες. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα είναι πολύ μικρή Χ είναι πολύ, πολύ μεγάλο. Και πάλι, με αναμενόμενη τιμή 3, δεν θα περίμενε κανείς ότι θα υπήρχε μεγάλη ποσότητα διανομής με τιμές πολύ μεγάλες.

Εάν γνωρίζουμε περισσότερα για τη διανομή με την οποία εργαζόμαστε, τότε συνήθως μπορούμε να βελτιώσουμε την ανισότητα του Markov. Η αξία της χρήσης είναι ότι ισχύει για οποιαδήποτε διανομή με μη αρνητικές τιμές.

Για παράδειγμα, αν γνωρίζουμε το μέσο ύψος των μαθητών σε ένα δημοτικό σχολείο. Η ανισότητα του Markov μας λέει ότι μόνο το ένα έκτο των μαθητών μπορεί να έχει ύψος μεγαλύτερο από έξι φορές το μέσο ύψος.

Η άλλη σημαντική χρήση της ανισότητας του Markov είναι να αποδείξει Ανισότητα του Chebyshev. Το γεγονός αυτό έχει ως αποτέλεσμα το όνομα "ανισότητα του Chebyshev" να εφαρμοστεί και στην ανισότητα του Markov. Η σύγχυση της ονομασίας των ανισοτήτων οφείλεται επίσης σε ιστορικές περιστάσεις. Ο Andrey Markov ήταν μαθητής του Pafnuty Chebyshev. Το έργο του Chebyshev περιέχει την ανισότητα που αποδίδεται στον Markov.