Τι είναι η Κούρτωση στις Στατιστικές;

Οι κατανομές των δεδομένων και των κατανομών πιθανότητας δεν έχουν το ίδιο σχήμα. Ορισμένοι είναι ασύμμετροι και λοξή προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά. Άλλες διανομές είναι bimodal και έχουν δύο κορυφές. Ένα άλλο χαρακτηριστικό που πρέπει να λάβετε υπόψη όταν μιλάτε για μια διανομή είναι το σχήμα των ουρών της διανομής στην άκρα αριστερά και στην άκρα δεξιά. Η κούρτωση είναι το μέτρο του πάχους ή της βαρύτητας των ουρών μιας διανομής. Η κούρτωση μιας διανομής βρίσκεται σε μία από τις τρεις κατηγορίες ταξινόμησης:

• Μεσοκρητικό
• Λεπτοκρητικό
• Platykurtic

Θα εξετάσουμε κάθε μια από αυτές τις ταξινομήσεις με τη σειρά τους. Η εξέταση αυτών των κατηγοριών δεν θα είναι τόσο ακριβής όσο θα μπορούσαμε να κάνουμε αν χρησιμοποιούσαμε τον τεχνικό μαθηματικό ορισμό της κούρτωσης.

Η κούρτωση μετράται τυπικά σε σχέση με το κανονική κατανομή. Μια κατανομή που έχει ουρές έχει περίπου το ίδιο σχήμα με οποιαδήποτε κανονική κατανομή, όχι μόνο την κανονική κανονική κατανομή, λέγεται ότι είναι μεσοκουλτικός. Η κούρτωση μιας μεσοκρουτικής διανομής δεν είναι ούτε υψηλή ούτε χαμηλή, αλλά θεωρείται ότι αποτελεί βασική γραμμή για τις δύο άλλες ταξινομήσεις.

εκτός κανονικές διανομές, διωνυμικές κατανομές για τις οποίες Π είναι κοντά στο 1/2 θεωρούνται mesokurtic.

Μία λεπτοτοκυστική κατανομή είναι αυτή που έχει κούρτωση μεγαλύτερη από μια μεσοκουλτική κατανομή. Λεπτομερείς διανομές μερικές φορές προσδιορίζονται από κορυφές που είναι λεπτές και ψηλές. Οι ουρές αυτών των κατανομών, τόσο προς τα δεξιά όσο και προς τα αριστερά, είναι παχιά και βαριά. Οι λεπτοπτοκτικές κατανομές ονομάζονται από το πρόθεμα "lepto" που σημαίνει "κοκαλιάρικο".

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα ορθοστατικών διανομών. Μία από τις πιο γνωστές λεπτοκρουτικές διανομές είναι Διανομή μαθητών.

Η τρίτη ταξινόμηση για την κούρτωση είναι platykurtic. Οι διανομές Platykurtic είναι εκείνες που έχουν λεπτές ουρές. Πολλές φορές κατέχουν μια κορυφή χαμηλότερη από μια μεσοκτουρική κατανομή. Το όνομα αυτών των τύπων διανομών προέρχεται από το νόημα του προθέματος "platy" που σημαίνει "ευρύ".

Ολα στολή Οι κατανομές είναι πλακτυρικές. Εκτός από αυτό, το διακεκριμένος η κατανομή πιθανοτήτων από ένα μόνο κτύπημα ενός νομίσματος είναι platykurtic.

Αυτές οι ταξινομήσεις της κούρτωσης εξακολουθούν να είναι κάπως υποκειμενικές και ποιοτικές. Ενώ θα μπορούσαμε να δούμε ότι μια διανομή έχει παχύτερες ουρές από μια κανονική διανομή, τι γίνεται αν δεν έχουμε το γράφημα μιας κανονικής διανομής για να συγκρίνουμε; Τι γίνεται αν θέλουμε να πούμε ότι μια διανομή είναι πιο λεπτόκρουρη από άλλη;

Για να απαντήσουμε σε αυτά τα ερωτήματα δεν χρειάζεται μόνο μια ποιοτική περιγραφή της κούρτωσης, αλλά ένα ποσοτικό μέτρο. Ο τύπος που χρησιμοποιείται είναι μ₄/σ⁴ όπου μ₄ είναι το τέταρτο του Pearson στιγμή για το μέσο και το σίγμα είναι η τυπική απόκλιση.

Τώρα που έχουμε έναν τρόπο να υπολογίσουμε την κούρτωση, μπορούμε να συγκρίνουμε τις τιμές που λαμβάνονται μάλλον παρά τα σχήματα. Η κανονική κατανομή διαπιστώθηκε ότι είχε μια κούτωση των τριών. Αυτό γίνεται τώρα η βάση μας για τις μεσοκρουτικές διανομές. Μια κατανομή με κούτωση μεγαλύτερη από τρία είναι λεπτοκωτική και μια κατανομή με κούτωση μικρότερη από τρία είναι πλακυκτυρική.

Δεδομένου ότι αντιμετωπίζουμε μια μεσοκρουτική κατανομή ως βάση για τις άλλες διανομές μας, μπορούμε να αφαιρέσουμε τρία από τον πρότυπο υπολογισμό μας για την κούτωση. Ο τύπος μ₄/σ⁴ - 3 είναι ο τύπος για την υπερβολική κούρτωση. Θα μπορούσαμε τότε να ταξινομήσουμε μια κατανομή από την υπερβολική κούρτωση:

• Οι μεσοκουλτικές διανομές έχουν περίσσεια κούτωσης μηδενικού.
• Οι διανομές του Platykurtic έχουν αρνητική υπερβολική κούτωση.
• Οι λεπτοσωματικές διανομές έχουν θετική υπερβολική κούτωση.

Η λέξη "kurtosis" φαίνεται περίεργη κατά την πρώτη ή τη δεύτερη ανάγνωση. Είναι πραγματικά λογικό, αλλά πρέπει να γνωρίζουμε την ελληνική γλώσσα για να το αναγνωρίσουμε. Η κούρτωση προέρχεται από μια μεταγραφή της ελληνικής λέξης kurtos. Αυτή η ελληνική λέξη έχει την έννοια "τοξωτή" ή "διογκωμένη", καθιστώντας την κατάλληλη περιγραφή της έννοιας της κούρτωσης.