Ποιες είναι οι πιθανότητες Axioms;

Μια στρατηγική στα μαθηματικά είναι να ξεκινήσετε με μερικές δηλώσεις, στη συνέχεια να δημιουργήσετε περισσότερα μαθηματικά από αυτές τις δηλώσεις. Οι αρχικές δηλώσεις είναι γνωστές ως αξιώματα. Ένα αξίωμα είναι συνήθως κάτι που είναι μαθηματικά αυτονόητο. Από ένα σχετικά σύντομο κατάλογο αξιωμάτων, η παραπλανητική λογική χρησιμοποιείται για να αποδείξει άλλες δηλώσεις, που ονομάζονται θεωρήματα ή προτάσεις.

Η περιοχή των μαθηματικών γνωστή ως πιθανότητα δεν διαφέρει. Η πιθανότητα μπορεί να μειωθεί σε τρία αξιώματα. Αυτό έγινε πρώτα από τον μαθηματικό Αντρέι Kolmogorov. Η χούφτα των αξιωμάτων που είναι η υποκείμενη πιθανότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξαγωγή όλων είδος των αποτελεσμάτων. Αλλά ποια είναι αυτά τα αξιώματα πιθανότητας;

Προκειμένου να κατανοήσουμε τα αξιώματα για την πιθανότητα, πρέπει πρώτα να συζητήσουμε ορισμένους βασικούς ορισμούς. Υποθέτουμε ότι έχουμε ένα σύνολο αποτελεσμάτων που ονομάζονται δείγμα χώρου ΜΙΚΡΟ. Αυτός ο δείγμα χώρος μπορεί να θεωρηθεί ως το καθολικό σύνολο για την κατάσταση που μελετάμε. Ο χώρος δειγμάτων αποτελείται από υποσύνολα που ονομάζονται συμβάντα

Υποθέτουμε επίσης ότι υπάρχει ένας τρόπος εκχώρησης μιας πιθανότητας σε οποιοδήποτε γεγονός μι. Αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση που έχει ένα σύνολο για μια είσοδο, και a πραγματικός αριθμός ως έξοδο. Η πιθανότητα της Εκδήλωσημι συμβολίζεται με Π(μι).

Το πρώτο αξίωμα της πιθανότητας είναι ότι η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος είναι ένας μη αρνητικός πραγματικός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι το μικρότερο που μια πιθανότητα μπορεί να είναι ποτέ είναι μηδέν και ότι δεν μπορεί να είναι άπειρο. Το σύνολο αριθμών που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είναι πραγματικοί αριθμοί. Αυτό αναφέρεται τόσο σε λογικούς αριθμούς, επίσης γνωστούς ως κλάσματα, και σε παράλογους αριθμούς που δεν μπορούν να γραφτούν ως κλάσματα.

Ένα πράγμα που πρέπει να σημειωθεί είναι ότι αυτό το αξίωμα δεν λέει τίποτα για το πόσο μεγάλη είναι η πιθανότητα ενός γεγονότος. Το αξίωμα εξαλείφει την πιθανότητα αρνητικών πιθανοτήτων. Αντανακλά την αντίληψη ότι η μικρότερη πιθανότητα, που προορίζεται για αδύνατα γεγονότα, είναι μηδέν.

Το δεύτερο αξίωμα της πιθανότητας είναι ότι η πιθανότητα ολόκληρου του δείγματος είναι ένα. Συμβολικά γράφουμε Π(μικρό) = 1. Σε αυτό το αξίωμα έχει σημασία η ιδέα ότι ο χώρος του δείγματος είναι πάντα πιθανός για το πείραμά μας πιθανοτήτων και ότι δεν υπάρχουν γεγονότα εκτός του δείγματος.

Από μόνο του, αυτό το αξίωμα δεν θέτει ένα ανώτερο όριο στις πιθανότητες γεγονότων που δεν είναι ολόκληρο το χώρο δείγματος. Αντικατοπτρίζει ότι κάτι με απόλυτη βεβαιότητα έχει πιθανότητα 100%.

Το τρίτο αξίωμα της πιθανότητας ασχολείται με αμοιβαία αποκλειστικά γεγονότα. Αν μι₁ και μι₂ είναι αμοιβαία αποκλειστικά, που σημαίνει ότι έχουν μια κενή διασταύρωση και χρησιμοποιούμε το U για να δηλώσουμε την ένωση τότε Π(μι₁ U μι₂ ) = Π(μι₁) + Π(μι₂).

Το αξίωμα καλύπτει στην πραγματικότητα την κατάσταση με πολλά (ακόμα και απίστευτα απεριόριστα) γεγονότα, κάθε ζεύγος των οποίων είναι αμοιβαία αποκλειστικά. Όσο συμβαίνει αυτό, το πιθανότητα της ένωσης των γεγονότων είναι το ίδιο με το άθροισμα των πιθανοτήτων:

Π(μι₁ U μι₂ U... U μι_n ) = Π(μι₁) + Π(μι₂) +... + μι_n

Αν και αυτό το τρίτο αξίωμα μπορεί να μην φαίνεται τόσο χρήσιμο, θα δούμε ότι σε συνδυασμό με τα άλλα δύο αξιώματα είναι πραγματικά πολύ ισχυρό.

Τα τρία αξιώματα θέτουν ένα ανώτερο όριο για την πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος. Δηλώνουμε το συμπλήρωμα της εκδήλωσης μι με μι^ντο. Από τη θεωρία των συνόλων, μι και μι^ντο έχουν μια κενή διασταύρωση και είναι αμοιβαία αποκλειστικές. Επί πλέον μι U μι^ντο = μικρό, ολόκληρο το χώρο δείγματος.

Αυτά τα γεγονότα, σε συνδυασμό με τα αξιώματα, μας δίνουν:

1 = Π(μικρό) = Π(μι U μι^ντο) = Π(μι) + Π(μι^ντο) .

Αλλάζουμε την παραπάνω εξίσωση και βλέπουμε αυτό Π(μι) = 1 - Π(μι^ντο). Δεδομένου ότι γνωρίζουμε ότι οι πιθανότητες πρέπει να είναι μη αρνητικές, έχουμε τώρα ότι ένα ανώτερο όριο για την πιθανότητα οποιουδήποτε συμβάντος είναι 1.

Με την αναδιάταξη του τύπου ξανά έχουμε Π(μι^ντο) = 1 - Π(μι). Μπορούμε επίσης να συμπεράνουμε από αυτόν τον τύπο ότι η πιθανότητα ενός συμβάντος που δεν συμβαίνει είναι ένα μείον την πιθανότητα να συμβεί.

Η παραπάνω εξίσωση μας δίνει επίσης έναν τρόπο να υπολογίσουμε την πιθανότητα του αδύνατου γεγονότος, που δηλώνεται από το κενό σύνολο. Για να το δούμε αυτό, υπενθυμίζουμε ότι το κενό σετ είναι το συμπλήρωμα του καθολικού σετ, σε αυτή την περίπτωση μικρό^ντο. Από 1 = Π(μικρό) + Π(μικρό^ντο) = 1 + Π(μικρό^ντο), από την άλγεβρα που έχουμε Π(μικρό^ντο) = 0.

Τα παραπάνω είναι μόνο μερικά παραδείγματα ιδιοτήτων που μπορούν να αποδειχθούν άμεσα από τα αξιώματα. Υπάρχουν πολλά περισσότερα αποτελέσματα στην πιθανότητα. Αλλά όλα αυτά τα θεωρήματα είναι λογικές επεκτάσεις από τα τρία αξιώματα της πιθανότητας.