Διάστημα εμπιστοσύνης για ένα ποσοστό πληθυσμού

Διαστήματα εμπιστοσύνης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση πολλών πληθυσμών Παράμετροι. Ένας τύπος παραμέτρου που μπορεί να εκτιμηθεί χρησιμοποιώντας επαγωγική στατιστική είναι μια αναλογία πληθυσμού. Για παράδειγμα, ίσως να θέλουμε να γνωρίζουμε το ποσοστό του πληθυσμού των ΗΠΑ που υποστηρίζει συγκεκριμένη νομοθεσία. Για αυτόν τον τύπο ερώτησης, πρέπει να βρούμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης.

Σε αυτό το άρθρο, θα δούμε πώς να κατασκευάσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης για μια αναλογία πληθυσμού και θα εξετάσουμε κάποια από τη θεωρία πίσω από αυτό.

Αρχίζουμε κοιτάζοντας τη μεγάλη εικόνα προτού φτάσουμε στις λεπτομέρειες. Ο τύπος του διαστήματος εμπιστοσύνης που θα εξετάσουμε έχει την ακόλουθη μορφή:

Εκτίμηση +/- Περιθώριο σφάλματος

Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν δύο αριθμοί που θα πρέπει να προσδιορίσουμε. Αυτές οι τιμές είναι μια εκτίμηση για την επιθυμητή παράμετρο, μαζί με το περιθώριο σφάλματος.

Πριν από τη διεξαγωγή οποιασδήποτε στατιστικής δοκιμής ή διαδικασίας, είναι σημαντικό να βεβαιωθείτε ότι πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις. Για ένα διάστημα εμπιστοσύνης για μια αναλογία πληθυσμού, πρέπει να βεβαιωθείτε ότι η ακόλουθη αναμονή:

• Εχουμε ένα απλό τυχαίο δείγμα μεγέθους n από ένα μεγάλο πληθυσμό
• Τα άτομα μας έχουν επιλεγεί ανεξάρτητα το ένα από το άλλο.
• Υπάρχουν τουλάχιστον 15 επιτυχίες και 15 αποτυχίες στο δείγμα μας.

Εάν το τελευταίο στοιχείο δεν είναι ικανοποιημένο, τότε μπορεί να είναι δυνατή η ελαφριά προσαρμογή του δείγματος και η χρήση του συν-τέσσερα διαστήματα εμπιστοσύνης. Στη συνέχεια, θα υποθέσουμε ότι έχουν εκπληρωθεί όλες οι παραπάνω προϋποθέσεις.

Αρχίζουμε με την εκτίμηση για το ποσοστό του πληθυσμού μας. Ακριβώς όπως χρησιμοποιούμε ένα μέσο δειγματοληψίας για την εκτίμηση του μέσου όρου του πληθυσμού, χρησιμοποιούμε μια αναλογία δείγματος για να υπολογίσουμε μια αναλογία πληθυσμού. Το ποσοστό του πληθυσμού είναι μια άγνωστη παράμετρος. Η αναλογία του δείγματος είναι στατιστική. Αυτή η στατιστική βρίσκεται με την καταμέτρηση του αριθμού των επιτυχιών στο δείγμα μας και στη συνέχεια με τη διαίρεση του συνολικού αριθμού των ατόμων στο δείγμα.

Η αναλογία του πληθυσμού υποδηλώνεται με Π και είναι αυτονόητη. Ο συμβολισμός για το δείγμα είναι λίγο περισσότερο εμπλεκόμενος. Δηλώνουμε μια αναλογία δείγματος ως p, και διαβάζουμε αυτό το σύμβολο ως "p-hat" επειδή μοιάζει με το γράμμα Π με καπέλο στην κορυφή.

Αυτό γίνεται το πρώτο μέρος του διαστήματος εμπιστοσύνης μας. Η εκτίμηση του p είναι p.

Για να προσδιορίσουμε τον τύπο του περιθωρίου σφάλματος, πρέπει να σκεφτούμε το κατανομή δειγματοληψίας της σ. Θα πρέπει να γνωρίζουμε τον μέσο όρο, την τυπική απόκλιση και τη συγκεκριμένη διανομή με την οποία εργαζόμαστε.

Η κατανομή δειγματοληψίας του p είναι μια διωνυμική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας Π και n δοκιμές. Αυτός ο τύπος τυχαίας μεταβλητής έχει μέσο όρο Π και τυπική απόκλιση της (Π(1 - Π)/n)^0.5. Υπάρχουν δύο προβλήματα με αυτό.

Το πρώτο πρόβλημα είναι ότι μια διωνυμική κατανομή μπορεί να είναι πολύ δύσκολη για να δουλέψετε. Η παρουσία factorials μπορεί να οδηγήσει σε πολύ μεγάλους αριθμούς. Αυτό είναι όπου οι συνθήκες μας βοηθούν. Όσο πληρούνται οι συνθήκες μας, μπορούμε να εκτιμήσουμε την διωνυμική κατανομή με την κανονική κανονική κατανομή.

Το δεύτερο πρόβλημα είναι ότι η τυπική απόκλιση του p χρησιμοποιεί Π στον ορισμό της. Η άγνωστη παράμετρος του πληθυσμού εκτιμάται χρησιμοποιώντας την ίδια ίδια παράμετρο με το περιθώριο σφάλματος. Αυτή η κυκλική λογική είναι ένα πρόβλημα που πρέπει να διορθωθεί.

Η διέξοδος από αυτό το αίνιγμα είναι να αντικαταστήσει την τυπική απόκλιση με το τυπικό σφάλμα. Τα τυπικά σφάλματα βασίζονται στα στατιστικά στοιχεία και όχι στις παραμέτρους. Χρησιμοποιείται τυπικό σφάλμα για την εκτίμηση τυπικής απόκλισης. Αυτό που κάνει τη στρατηγική αυτή αξίζει τον κόπο είναι ότι δεν χρειάζεται πλέον να γνωρίζουμε την αξία της παραμέτρου Π.

Για να χρησιμοποιήσουμε το τυπικό σφάλμα, αντικαθιστούμε την άγνωστη παράμετρο Π με την στατιστική p. Το αποτέλεσμα είναι ο ακόλουθος τύπος για ένα διάστημα εμπιστοσύνης για μια αναλογία πληθυσμού:

p +/- z * (ρ (1 - ρ) /n)^0.5.

Εδώ η τιμή του z * καθορίζεται από το επίπεδο εμπιστοσύνης μας ΝΤΟ. Για την κανονική κανονική κατανομή, ακριβώς ντο το ποσοστό της κανονικής κανονικής κατανομής είναι μεταξύ -z * και z *. Κοινές τιμές για z * περιλαμβάνουν 1,645 για εμπιστοσύνη 90% και 1,96 για εμπιστοσύνη 95%.

Ας δούμε πώς λειτουργεί αυτή η μέθοδος με ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να γνωρίζουμε με 95% την εμπιστοσύνη το ποσοστό του εκλογικού σώματος σε έναν νομό που αναγνωρίζεται ως Δημοκρατικός. Διεξάγουμε ένα απλό τυχαίο δείγμα 100 ατόμων σε αυτό το νομό και διαπιστώνουμε ότι 64 από αυτούς αναγνωρίζουν ως Δημοκρατικό.

Βλέπουμε ότι πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις. Η εκτίμηση της αναλογίας του πληθυσμού μας είναι 64/100 = 0,64. Αυτή είναι η τιμή της αναλογίας δείγματος p, και είναι το κέντρο του διαστήματος εμπιστοσύνης μας.

Το περιθώριο σφάλματος αποτελείται από δύο τεμάχια. Το πρώτο είναι z*. Όπως είπαμε, για 95% εμπιστοσύνη, η αξία του z* = 1.96.

Το άλλο μέρος του περιθωρίου σφάλματος δίνεται από τον τύπο (p (1 - p) /n)^0.5. Ορίσαμε p = 0.64 και υπολογίσαμε = το τυπικό σφάλμα που πρέπει να είναι (0.64 (0.36) / 100)^0.5 = 0.048.

Πολλαπλασιάζουμε αυτούς τους δύο αριθμούς μαζί και λαμβάνουμε ένα περιθώριο σφάλματος 0,09408. Το τελικό αποτέλεσμα είναι:

0.64 +/- 0.09408,

ή μπορούμε να το ξαναγράψουμε ως 54.592% σε 73.408%. Επομένως, είμαστε 95% σίγουροι ότι η πραγματική δημογραφική αναλογία των Δημοκρατικών βρίσκεται κάπου στο εύρος αυτών των ποσοστών. Αυτό σημαίνει ότι μακροπρόθεσμα, η τεχνική και η φόρμουλα μας θα αποτυπώσουν το ποσοστό του πληθυσμού του 95% του χρόνου.

Υπάρχουν ορισμένες ιδέες και θέματα που συνδέονται με αυτό το είδος διαστήματος εμπιστοσύνης. Για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να διεξαγάγουμε μια δοκιμή υποθέσεων σχετικά με την αξία του ποσοστού του πληθυσμού. Θα μπορούσαμε επίσης να συγκρίνουμε δύο αναλογίες από δύο διαφορετικούς πληθυσμούς.