Κατανόηση ισοδύναμων εξισώσεων στην άλγεβρα

Οι ισοδύναμες εξισώσεις είναι συστήματα εξισώσεων που έχουν τις ίδιες λύσεις. Ο εντοπισμός και η επίλυση ισοδύναμων εξισώσεων είναι μια πολύτιμη δεξιότητα, όχι μόνο στο τάξη άλγεβρας αλλά και στην καθημερινή ζωή. Ρίξτε μια ματιά σε παραδείγματα ισοδύναμων εξισώσεων, πώς να τις λύσετε για μία ή περισσότερες μεταβλητές και πώς μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτήν την ικανότητα έξω από μια τάξη.

Βασικές τακτικές

Τα απλούστερα παραδείγματα ισοδύναμων εξισώσεων δεν έχουν μεταβλητές. Για παράδειγμα, αυτές οι τρεις εξισώσεις είναι ισοδύναμες μεταξύ τους:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Αναγνωρίζοντας ότι οι εξισώσεις αυτές είναι ισοδύναμες είναι μεγάλη, αλλά όχι ιδιαίτερα χρήσιμη. Συνήθως, ένα ισοδύναμο πρόβλημα εξίσωσης σας ζητά να λύσετε μια μεταβλητή για να δείτε αν είναι το ίδιο (το ίδιο

Για παράδειγμα, οι ακόλουθες εξισώσεις είναι ισοδύναμες:

• x = 5
• -2x = -10

Και στις δύο περιπτώσεις, x = 5. Πώς το γνωρίζουμε αυτό; Πώς λύνετε αυτό για την εξίσωση "-2x = -10"; Το πρώτο βήμα είναι να γνωρίζουμε τους κανόνες ισοδύναμων εξισώσεων:

• Προσθέτωντας ή αφαιρώντας τον ίδιο αριθμό ή έκφραση και στις δύο πλευρές μιας εξίσωσης παράγει μια ισοδύναμη εξίσωση.
• Ο πολλαπλασιασμός ή ο διαχωρισμός και των δύο πλευρών μιας εξίσωσης με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό παράγει ισοδύναμη εξίσωση.
• Ανύψωση και των δύο πλευρών της εξίσωσης στο ίδια περίεργη δύναμη ή λαμβάνοντας την ίδια περίεργη ρίζα θα παράγει μια ισοδύναμη εξίσωση.
• Εάν και οι δύο πλευρές μιας εξίσωσης είναι μη-αρνητικός, ανυψώνοντας και τις δύο πλευρές μιας εξίσωσης με την ίδια ομοιόμορφη ισχύ ή λαμβάνοντας την ίδια ομοιόμορφη ρίζα θα δώσει ισοδύναμη εξίσωση.

Με την εφαρμογή αυτών των κανόνων, καθορίστε αν αυτές οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Για να λυθεί αυτό, πρέπει να βρείτε "x" για κάθε ένα εξίσωση. Εάν το "x" είναι το ίδιο και για τις δύο εξισώσεις, τότε είναι ισοδύναμες. Εάν το "x" είναι διαφορετικό (δηλαδή, οι εξισώσεις έχουν διαφορετικές ρίζες) τότε οι εξισώσεις δεν είναι ισοδύναμες. Για την πρώτη εξίσωση:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (αφαιρώντας και τις δύο πλευρές με τον ίδιο αριθμό)
• x = 5

Για τη δεύτερη εξίσωση:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (αφαιρώντας και τις δύο πλευρές από τον ίδιο αριθμό)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό)
• x = 5

Έτσι, ναι, οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες επειδή x = 5 σε κάθε περίπτωση.

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ισοδύναμες εξισώσεις στην καθημερινή ζωή. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμο κατά την αγορά. Για παράδειγμα, σας αρέσει ένα συγκεκριμένο πουκάμισο. Μια εταιρεία προσφέρει το πουκάμισο για $ 6 και έχει $ 12 ναυτιλία, ενώ μια άλλη εταιρεία προσφέρει το πουκάμισο για $ 7.50 και έχει $ 9 ναυτιλία. Ποιο πουκάμισο έχει την καλύτερη τιμή; Πόσα πουκάμισα (ίσως θέλετε να τα πάρετε για φίλους) θα πρέπει να αγοράσετε για να είναι η τιμή ίδια και για τις δύο εταιρείες;

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, αφήστε το "x" να είναι ο αριθμός των πουκάμισων. Αρχικά, ορίστε το x = 1 για την αγορά ενός πουκάμισου. Για την εταιρεία # 1:

• Τιμή = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = $ 18

Για την εταιρεία # 2:

• Τιμή = 7,5x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 $

Έτσι, εάν αγοράζετε ένα πουκάμισο, η δεύτερη εταιρεία προσφέρει μια καλύτερη συμφωνία.

Για να βρούμε το σημείο όπου οι τιμές είναι ίσες, αφήστε το "x" να παραμείνει ο αριθμός των πουκάμισων, αλλά ορίστε τις δύο εξισώσεις ίσες μεταξύ τους. Λύστε για το "x" για να βρείτε πόσα πουκάμισα θα έπρεπε να αγοράσετε:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x - 7,5x = 9-12 (αφαίρεση οι ίδιοι αριθμοί ή εκφράσεις από κάθε πλευρά)
• -1,5x = -3
• 1.5x = 3 (διαιρώντας και τις δύο πλευρές με τον ίδιο αριθμό, -1)
• x = 3 / 1,5 (διαιρώντας και τις δύο πλευρές κατά 1,5)
• x = 2

Εάν αγοράζετε δύο πουκάμισα, η τιμή είναι η ίδια, ανεξάρτητα από το πού το παίρνετε. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το ίδιο μαθηματικό για να προσδιορίσετε ποια εταιρεία σας δίνει καλύτερη αντιμετώπιση με μεγαλύτερες παραγγελίες και επίσης να υπολογίσετε πόσα θα εξοικονομήσετε χρησιμοποιώντας μία εταιρεία πάνω από την άλλη. Δείτε, η άλγεβρα είναι χρήσιμη!

Εάν έχετε δύο εξισώσεις και δύο άγνωστες (x και y), μπορείτε να προσδιορίσετε εάν δύο σειρές γραμμικών εξισώσεων είναι ισοδύναμες.

Για παράδειγμα, εάν σας δοθούν οι εξισώσεις:

• -3x + 12y = 15
• 7x - 10y = -2

Μπορείτε να προσδιορίσετε αν το ακόλουθο σύστημα είναι ισοδύναμο:

• -x + 4y = 5
• 7x-10y = -2

Προς το λύσε αυτό το πρόβλημα, βρείτε "x" και "y" για κάθε σύστημα εξισώσεων. Αν οι τιμές είναι ίδιες, τότε τα συστήματα των εξισώσεων είναι ισοδύναμα.

Ξεκινήστε με το πρώτο σετ. Για να λύσει δύο εξισώσεις με δύο μεταβλητές, απομονώστε μια μεταβλητή και συνδέστε το διάλυμα της στην άλλη εξίσωση. Για να απομονώσετε τη μεταβλητή "y":

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15-12γ
• x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (συνδέστε το για το "x" στη δεύτερη εξίσωση)
• 7x - 10y = -2
• 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
• -35 + 28y-10y = -2
• 18y = 33
• y = 33/18 = 11/6

Τώρα, συνδέστε το "y" πίσω σε οποιαδήποτε εξίσωση για να λύσετε το "x":

• 7x - 10y = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

Μέσα από αυτό, τελικά θα λάβετε x = 7/3.

Για να απαντήσετε στην ερώτηση, εσείς θα μπορούσε εφαρμόστε τις ίδιες αρχές στο δεύτερο σύνολο εξισώσεων που λύνουν για το "x" και το "y" για να διαπιστώσετε ότι ναι, είναι πράγματι ισοδύναμες. Είναι εύκολο να βυθιστείτε στην άλγεβρα, γι 'αυτό είναι καλή ιδέα να ελέγξετε την εργασία σας χρησιμοποιώντας ένα online επίλυση εξισώσεων.

Ωστόσο, ο έξυπνος φοιτητής θα παρατηρήσει ότι τα δύο σύνολα εξισώσεων είναι ισοδύναμα χωρίς να κάνουμε καθόλου δύσκολους υπολογισμούς. Η μόνη διαφορά μεταξύ της πρώτης εξίσωσης σε κάθε σετ είναι ότι η πρώτη είναι τριπλάσια από την δεύτερη (ισοδύναμη). Η δεύτερη εξίσωση είναι ακριβώς η ίδια.