Ποιες είναι οι στιγμές στις στατιστικές;

Οι στιγμές στις μαθηματικές στατιστικές περιλαμβάνουν έναν βασικό υπολογισμό. Αυτοί οι υπολογισμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρεθεί ο μέσος όρος, η διακύμανση και η ασυμμετρία της κατανομής πιθανότητας.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύνολο δεδομένων με ένα σύνολο nδιακεκριμένος σημεία. Ένας σημαντικός υπολογισμός, ο οποίος είναι στην πραγματικότητα αρκετοί αριθμοί, ονομάζεται μικρόαυτή τη στιγμή. ο μικρότης στιγμής του συνόλου δεδομένων με τιμές Χ₁, Χ₂, Χ₃,..., Χ_n δίνεται από τον τύπο:

(Χ₁^μικρό + Χ₂^μικρό + Χ₃^μικρό +... + Χ_n^μικρό)/n

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο απαιτεί να είμαστε προσεκτικοί με τη σειρά λειτουργιών μας. Πρέπει πρώτα να κάνουμε τους εκθέτες, να προσθέσουμε και στη συνέχεια να διαιρέσουμε αυτό το άθροισμα n το συνολικό αριθμό τιμών δεδομένων.

Ο όρος στιγμή έχει ληφθεί από τη φυσική. Στη φυσική, η στιγμή ενός συστήματος σημειακών μαζών υπολογίζεται με έναν τύπο πανομοιότυπο με τον ανωτέρω και αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται για την εύρεση του κέντρου μάζας των σημείων. Στις στατιστικές, οι τιμές δεν είναι πια μάζες, αλλά όπως θα δούμε, οι στιγμές στα στατιστικά στοιχεία εξακολουθούν να μετράνε κάτι σε σχέση με το κέντρο των αξιών.

Για πρώτη φορά, θέσαμε μικρό = 1. Ο τύπος για την πρώτη στιγμή είναι έτσι:

(Χ₁Χ₂ + Χ₃ +... + Χ_n)/n

Αυτό είναι ίδιο με τον τύπο για το δείγμα σημαίνω.

Η πρώτη στιγμή των τιμών 1, 3, 6, 10 είναι (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.

Για τη δεύτερη στιγμή που θέσαμε μικρό = 2. Ο τύπος για τη δεύτερη στιγμή είναι:

(Χ₁² + Χ₂² + Χ₃² +... + Χ_n²)/n

Η δεύτερη στιγμή των τιμών 1, 3, 6, 10 είναι (1² + 3² + 6² + 10²) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.

Για την τρίτη στιγμή που θέσαμε μικρό = 3. Ο τύπος για την τρίτη στιγμή είναι:

(Χ₁³ + Χ₂³ + Χ₃³ +... + Χ_n³)/n

Η τρίτη στιγμή των τιμών 1, 3, 6, 10 είναι (1³ + 3³ + 6³ + 10³) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.

Οι υψηλότερες στιγμές μπορούν να υπολογιστούν με παρόμοιο τρόπο. Απλά αντικαταστήστε μικρό στον παραπάνω τύπο με τον αριθμό που υποδηλώνει την επιθυμητή στιγμή.

Μια σχετική ιδέα είναι αυτή της μικρότη στιγμή για το μέσο. Στον υπολογισμό αυτό εκτελούμε τα παρακάτω βήματα:

1. Αρχικά, υπολογίστε το μέσο όρο των τιμών.
2. Στη συνέχεια, αφαιρέστε αυτό το μέσο από κάθε τιμή.
3. Στη συνέχεια, αυξήστε κάθε μία από αυτές τις διαφορές στο μικρόth.
4. Τώρα προσθέστε τους αριθμούς από το βήμα # 3 μαζί.
5. Τέλος, διαιρέστε αυτό το άθροισμα με τον αριθμό των τιμών που ξεκινήσαμε.

Ο τύπος για το μικρότη στιγμή για το μέσο Μ των τιμών τιμών Χ₁, Χ₂, Χ₃,..., Χ_n δίνεται από:

Μ_μικρό = ((Χ₁ - Μ)^μικρό + (Χ₂ - Μ)^μικρό + (Χ₃ - Μ)^μικρό +... + (Χ_n - Μ)^μικρό)/n

Η πρώτη στιγμή για τον μέσο όρο είναι πάντα ίση με μηδέν, ανεξάρτητα από το τι είναι το σύνολο δεδομένων με το οποίο εργαζόμαστε. Αυτό μπορεί να διαπιστωθεί στα εξής:

Μ₁ = ((Χ₁ - Μ) + (Χ₂ - Μ) + (Χ₃ - Μ) +... + (Χ_n - Μ))/n = ((Χ₁+ Χ₂ + Χ₃ +... + Χ_n) - nm)/n = Μ - Μ = 0.

Η δεύτερη στιγμή για το μέσο επιτυγχάνεται από τον παραπάνω τύπομικρό = 2:

Μ₂ = ((Χ₁ - Μ)² + (Χ₂ - Μ)² + (Χ₃ - Μ)² +... + (Χ_n - Μ)²)/n

Ο τύπος αυτός είναι ισοδύναμος με αυτόν για τη διακύμανση του δείγματος.

Για παράδειγμα, εξετάστε το σύνολο 1, 3, 6, 10. Έχουμε ήδη υπολογίσει ότι ο μέσος όρος αυτού του συνόλου είναι 5. Αφαιρέστε αυτό από κάθε μία από τις τιμές των δεδομένων για να λάβετε διαφορές από:

• 1 – 5 = -4
• 3 – 5 = -2
• 6 – 5 = 1
• 10 – 5 = 5

Διαχωρίζουμε κάθε μία από αυτές τις τιμές και προσθέτουμε μαζί: (-4)² + (-2)² + 1² + 5² = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Τέλος, διαιρέστε τον αριθμό με τον αριθμό των σημείων δεδομένων: 46/4 = 11.5

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η πρώτη στιγμή είναι η μέση και η δεύτερη στιγμή για το μέσο είναι το δείγμα διαφορά. Ο Karl Pearson εισήγαγε τη χρήση της τρίτης στιγμής για τον μέσο κατά τον υπολογισμό skewness και την τέταρτη στιγμή για τον μέσο όρο στον υπολογισμό του κούρτωση.