Διωνυμικές κατανομές είναι μια σημαντική κατηγορία διακριτών κατανομών πιθανοτήτων. Αυτοί οι τύποι διανομών είναι μια σειρά από n ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli, καθεμία από τις οποίες έχει μια συνεχή πιθανότητα Π της επιτυχίας. Όπως και με οποιαδήποτε κατανομή πιθανότητας, θα θέλαμε να μάθουμε τι σημαίνει ή κέντρο. Γι 'αυτό ζητάμε πραγματικά, "Ποιο είναι το αναμενόμενη αξία της διωνυμικής διανομής; "
Διαίσθηση εναντίον Απόδειξη
Αν σκεφτούμε προσεκτικά για ένα διωνυμική κατανομή, δεν είναι δύσκολο να προσδιοριστεί το αναμενόμενο αξία αυτού του τύπου κατανομής πιθανοτήτων είναι np. Για μερικά γρήγορα παραδείγματα, εξετάστε τα εξής:
- Αν πετάξουμε 100 νομίσματα, και Χ είναι ο αριθμός των κεφαλών, η αναμενόμενη τιμή του Χ είναι 50 = (1/2) 100.
- Αν κάνουμε μια δοκιμή πολλαπλών επιλογών με 20 ερωτήσεις και κάθε ερώτηση έχει τέσσερις επιλογές (μόνο μία από τις το οποίο είναι σωστό), τότε εικασία τυχαία θα σήμαινε ότι θα περίμενε μόνο να πάρει (1/4) 20 = 5 ερωτήσεις σωστός.
Και στα δύο αυτά παραδείγματα το βλέπουμε αυτό
E [X] = n p. Δύο περιπτώσεις είναι δύσκολο να φτάσουν σε ένα συμπέρασμα. Αν και η διαίσθηση είναι ένα καλό εργαλείο για να μας καθοδηγήσει, δεν αρκεί να σχηματίσουμε ένα μαθηματικό επιχείρημα και να αποδείξουμε ότι κάτι είναι αληθινό. Πώς αποδεικνύουμε οριστικά ότι η αναμενόμενη αξία αυτής της διανομής είναι πράγματι np?Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής και τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας για το διωνυμική κατανομή του n δοκιμές πιθανότητας επιτυχίας Π, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η διαίσθησή μας ταιριάζει με τους καρπούς της μαθηματικής αυστηρότητας. Πρέπει να είμαστε κάπως προσεκτικοί στη δουλειά μας και ευκίνητοι στους χειρισμούς μας του διωνυμικού συντελεστή που δίνεται από τον τύπο για συνδυασμούς.
Αρχίζουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Ε [Χ] = Σ x = 0n x C (n, x) σΧ(1-ρ)n - x.
Δεδομένου ότι κάθε όρος του αθροίσματος πολλαπλασιάζεται με Χ, η αξία του όρου που αντιστοιχεί σε x = 0 θα είναι 0, και έτσι μπορούμε πραγματικά να γράψουμε:
Ε [Χ] = Σ x = 1n x C (n, x) σ Χ (1 - ρ) n - x .
Με το χειρισμό των factorials που εμπλέκονται στην έκφραση για C (η, χ) μπορούμε να ξαναγράψουμε
x C (η, χ) = η C (η - 1, χ - 1).
Αυτό ισχύει επειδή:
(n - x)) = n (n - 1) 1 / ((x - x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).
Επομένως:
Ε [Χ] = Σ x = 1n n C (n - 1, χ - 1) σ Χ (1 - ρ) n - x .
Καταρτίζουμε τον παράγοντα n και ένα Π από την παραπάνω έκφραση:
Ε [Χ] = np Σ x = 1n C (n - 1, χ - 1) σ x - 1 (1 - ρ) (η - 1) - (χ - 1) .
Μια αλλαγή των μεταβλητών r = χ - 1 μας δίνει:
Ε [Χ] = np Σ r = 0n - 1 C (n - 1, r) σ r (1 - ρ) (η - 1) - r .
Με τη διωνυμική φόρμουλα, (χ + γ)κ = Σ r = 0 κC (k, r) xr yk - r το παραπάνω άθροισμα μπορεί να ξαναγραφεί:
Ε [Χ] = (np) (ρ + (1-ρ))n - 1 = np.
Το παραπάνω επιχείρημα μας έχει κάνει πολύ δρόμο. Από την αρχή μόνο με τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής και της συνάρτησης μάζας πιθανότητας για διωνυμική κατανομή, αποδείξαμε ότι αυτό που μας είπε η διαίσθησή μας. Η αναμενόμενη τιμή του διωνυμική κατανομήΒ (η, ρ) είναι n p.