Είναι σημαντικό να γνωρίζετε τον τρόπο υπολογισμού της πιθανότητας ενός συμβάντος. Ορισμένα είδη συμβάντων στην πιθανότητα ονομάζονται ανεξάρτητα. Όταν έχουμε ένα ζευγάρι ανεξάρτητων γεγονότων, μερικές φορές μπορούμε να ρωτήσουμε: "Ποια είναι η πιθανότητα να συμβούν και τα δύο αυτά γεγονότα;" Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε απλά να πολλαπλασιάσουμε μαζί τις δυο μας πιθανότητες.
Θα δούμε πώς να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα πολλαπλασιασμού για ανεξάρτητα γεγονότα. Αφού περάσουμε τα βασικά στοιχεία, θα δούμε τις λεπτομέρειες μερικών υπολογισμών.
Αρχίζουμε με τον ορισμό των ανεξάρτητων γεγονότων. Σε πιθανότητα, δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα εάν το αποτέλεσμα ενός γεγονότος δεν επηρεάζει την έκβαση του δεύτερου γεγονότος.
Ένα καλό παράδειγμα ενός ζεύγους ανεξάρτητων γεγονότων είναι όταν ρίχνουμε μια μήτρα και στη συνέχεια αναστρέφουμε ένα νόμισμα. Ο αριθμός που εμφανίζεται στην μήτρα δεν έχει καμία επίδραση στο κέρμα που πετάχτηκε. Επομένως, αυτά τα δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα.
Ένα παράδειγμα ενός γεγονότος που δεν είναι ανεξάρτητο θα ήταν το φύλο του κάθε μωρού σε ένα σύνολο δίδυμων. Εάν τα δίδυμα είναι πανομοιότυπα, τότε και οι δύο θα είναι άνδρες, ή και οι δύο θα είναι γυναίκες.
Ο κανόνας πολλαπλασιασμού για ανεξάρτητα συμβάντα συνδέει τις πιθανότητες δύο γεγονότων με την πιθανότητα να συμβούν και οι δύο. Για να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα, πρέπει να έχουμε τις πιθανότητες κάθε ανεξάρτητου γεγονότος. Δεδομένων αυτών των συμβάντων, ο κανόνας πολλαπλασιασμού αναφέρει την πιθανότητα να προκύψουν και τα δύο συμβάντα πολλαπλασιάζοντας τις πιθανότητες κάθε συμβάντος.
Σημειώστε τα γεγονότα ΕΝΑ και σι και τις πιθανότητες του καθενός από Ρ (Α) και Ρ (Β). Αν ΕΝΑ και σι είναι ανεξάρτητα γεγονότα, στη συνέχεια:
Ορισμένες εκδόσεις αυτού του τύπου χρησιμοποιούν ακόμα περισσότερα σύμβολα. Αντί της λέξης "και" μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο διασταύρωσης: ∩. Μερικές φορές ο τύπος αυτός χρησιμοποιείται ως ορισμός των ανεξάρτητων γεγονότων. Τα συμβάντα είναι ανεξάρτητα αν και μόνο αν P (A και Β) = Ρ (Α) Χ Ρ (Β).
Θα δούμε πώς να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα πολλαπλασιασμού εξετάζοντας μερικά παραδείγματα. Πρώτα υποθέστε ότι ανεβάζουμε ένα ψηφίο έξι όψεων και στη συνέχεια αναστρέψουμε ένα νόμισμα. Αυτά τα δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα. Η πιθανότητα κύλισης του 1 είναι 1/6. Η πιθανότητα ενός κεφαλιού είναι 1/2. Η πιθανότητα κυλίσεως 1 και η λήψη ενός κεφαλιού είναι 1/6 x 1/2 = 1/12.
Εάν είχαμε την τάση να είμαστε σκεπτικοί σχετικά με αυτό το αποτέλεσμα, αυτό το παράδειγμα είναι αρκετά μικρό ώστε να είναι όλα τα αποτελέσματα μπορεί να αναφέρεται: {(1, Η), (2, Η), (3, Η), (4, Η), (5, Η), (6, Η) Τ), (3, Τ), (4, Τ), (5, Τ), (6, T)}. Βλέπουμε ότι υπάρχουν δώδεκα αποτελέσματα, τα οποία είναι εξίσου πιθανό να συμβούν. Επομένως η πιθανότητα 1 και ενός κεφαλιού είναι 1/12. Ο κανόνας πολλαπλασιασμού ήταν πολύ πιο αποτελεσματικός, επειδή δεν απαιτούσε να καταγράψουμε ολόκληρο το χώρο δείγματος.
Για το δεύτερο παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι σχεδιάζουμε μια κάρτα από ένα τυπικό κατάστρωμα, αντικαταστήστε αυτή την κάρτα, ανακατέψτε το κατάστρωμα και στη συνέχεια τραβήξτε ξανά. Στη συνέχεια, ρωτάμε ποια είναι η πιθανότητα και οι δύο κάρτες να είναι βασιλιάδες. Δεδομένου ότι έχουμε σχεδιάσει με αντικατάσταση, αυτά τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα και ισχύει ο κανόνας πολλαπλασιασμού.
Η πιθανότητα να σχεδιάσετε ένα βασιλιά για την πρώτη κάρτα είναι 1/13. Η πιθανότητα για την κατάρτιση ενός βασιλιά στη δεύτερη κλήρωση είναι 1/13. Ο λόγος γι 'αυτό είναι ότι αντικαθιστούμε τον βασιλιά που έχουμε τραβήξει από την πρώτη φορά. Δεδομένου ότι αυτά τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα, χρησιμοποιούμε τον κανόνα πολλαπλασιασμού για να δούμε ότι η πιθανότητα να σχεδιάσουμε δύο βασιλείς δίνεται από το ακόλουθο προϊόν 1/13 x 1/13 = 1/169.
Αν δεν αντικαταστήσουμε τον βασιλιά, τότε θα έχουμε μια διαφορετική κατάσταση στην οποία τα γεγονότα δεν θα είναι ανεξάρτητα. Η πιθανότητα να τραβήξει ένα βασιλιά στη δεύτερη κάρτα θα επηρεαστεί από το αποτέλεσμα της πρώτης κάρτας.