Πώς συνδυασμοί συνδυασμοί και μεταλλάξεις

Σε όλα τα μαθηματικά και στα στατιστικά στοιχεία, πρέπει να γνωρίζουμε πώς να μετράμε. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για ορισμένους πιθανότητα προβλήματα. Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται συνολικά n ξεχωριστά αντικείμενα και θέλετε να επιλέξετε r από αυτούς. Αυτό αγγίζει άμεσα σε μια περιοχή των μαθηματικών γνωστή ως combinatorics, η οποία είναι η μελέτη της καταμέτρησης. Δύο από τους κύριους τρόπους για να τις μετρήσετε r αντικείμενα από n τα στοιχεία ονομάζονται μεταλλαγές και συνδυασμοί. Αυτές οι έννοιες είναι στενά συνδεδεμένες μεταξύ τους και εύκολα μπερδεμένες.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ενός συνδυασμού και μιας μετάλλαξης; Η βασική ιδέα είναι αυτή της τάξης. Μια μετάθεση δίνει προσοχή στη σειρά που επιλέγουμε τα αντικείμενα μας. Το ίδιο σύνολο αντικειμένων, αλλά σε διαφορετική σειρά, θα μας δώσει διαφορετικές μεταβολές. Με ένα συνδυασμό, εξακολουθούμε να επιλέγουμε r αντικείμενα από ένα σύνολο n, αλλά η σειρά δεν εξετάζεται πλέον.

Για να ξεχωρίσουμε αυτές τις ιδέες, θα εξετάσουμε το ακόλουθο παράδειγμα: πόσες διαφορές υπάρχουν από δύο γράμματα από το σετ {α, β, γ}?

Εδώ απαριθμούμε όλα τα ζευγάρια στοιχείων από το δεδομένο σετ, ενώ παράλληλα προσέχουμε τη σειρά. Υπάρχουν συνολικά έξι μεταβολές. Ο κατάλογος όλων αυτών είναι: ab, ba, bc, cb, ac και ca. Σημειώστε ότι ως μεταλλαγές ab και ba είναι διαφορετικές, διότι σε μία περίπτωση ένα επιλέχθηκε πρώτα, και στην άλλη ένα επιλέχθηκε δεύτερο.

Τώρα θα απαντήσουμε στην ακόλουθη ερώτηση: πόσοι συνδυασμοί υπάρχουν με δύο γράμματα από το σετ {α, β, γ}?

Δεδομένου ότι έχουμε να κάνουμε με συνδυασμούς, δεν μας ενδιαφέρει πλέον η τάξη. Μπορούμε να λύσουμε αυτό το πρόβλημα κοιτάζοντας πίσω στις παραλλαγές και στη συνέχεια εξαλείφοντας εκείνες που περιέχουν τα ίδια γράμματα. Ως συνδυασμοί, ab και ba θεωρούνται ως τα ίδια. Έτσι, υπάρχουν μόνο τρεις συνδυασμοί: ab, ac και bc.

Για καταστάσεις που συναντούμε με μεγαλύτερα σύνολα είναι πολύ χρονοβόρο να αναφερθούμε σε όλες τις πιθανές παραλλαγές ή συνδυασμούς και να μετρήσουμε το τελικό αποτέλεσμα. Ευτυχώς, υπάρχουν τύποι που μας δίνουν τον αριθμό των μεταβολών ή συνδυασμών n αντικείμενα που έχουν ληφθεί r κάθε φορά.

Σε αυτούς τους τύπους, χρησιμοποιούμε τη στενογραφία του n! που ονομάζεται nπαραγοντικό. Ο συντελεστής απλά λέει να πολλαπλασιάσει όλους τους θετικούς ακέραιους αριθμούς μικρότερους ή ίσους προς n μαζί. Έτσι, για παράδειγμα, 4! = 4 χ 3 χ 2 χ 1 = 24. Εξ ορισμού 0! = 1.

Ο αριθμός των μεταβολών του n αντικείμενα που έχουν ληφθεί r κάθε φορά δίνεται από τον τύπο:

Π(n,r) = n!/(n - r)!

Ο αριθμός των συνδυασμών του n αντικείμενα που έχουν ληφθεί r κάθε φορά δίνεται από τον τύπο:

ντο(n,r) = n!/[r!(n - r)!]

Για να δείτε τους τύπους στην εργασία, ας δούμε το αρχικό παράδειγμα. Ο αριθμός των μεταβολών ενός συνόλου τριών αντικειμένων που λαμβάνονται δύο κάθε φορά δίνεται από Π(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. Αυτό ταιριάζει ακριβώς με αυτό που έχουμε αποκτήσει με την καταγραφή όλων των μεταβολών.

Ο αριθμός των συνδυασμών ενός συνόλου τριών αντικειμένων που λαμβάνονται δύο κάθε φορά δίνεται από:

ντο(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Και πάλι, αυτό είναι ακριβώς αυτό που είδαμε πριν.

Οι τύποι σίγουρα εξοικονομούν χρόνο όταν μας ζητηθεί να βρούμε τον αριθμό των μεταλλαγών ενός μεγαλύτερου σετ. Για παράδειγμα, πόσες παραλλαγές υπάρχουν από ένα σύνολο δέκα αντικειμένων που λαμβάνονται τρεις κάθε φορά; Θα χρειαζόταν λίγο για να καταγράψουμε όλες τις μεταβολές, αλλά με τους τύπους, βλέπουμε ότι θα υπήρχαν:

Π(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 χ 8 = 720 παραλλαγές.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ μεταλλαγών και συνδυασμών; Η κατώτατη γραμμή είναι ότι κατά την καταμέτρηση καταστάσεων που αφορούν μια παραγγελία, θα πρέπει να χρησιμοποιούνται μεταλλάξεις. Εάν η σειρά δεν είναι σημαντική, τότε πρέπει να χρησιμοποιηθούν συνδυασμοί.