Το Factorial (!) Στα Μαθηματικά και Στατιστικά

Στα μαθηματικά, τα σύμβολα που έχουν ορισμένες έννοιες στην αγγλική γλώσσα μπορεί να σημαίνει πολύ εξειδικευμένα και διαφορετικά πράγματα. Για παράδειγμα, εξετάστε την ακόλουθη έκφραση:

3!

Όχι, δεν χρησιμοποιήσαμε το θαυμαστικό για να δείξουμε ότι είμαστε ενθουσιασμένοι για τρία, και δεν πρέπει να διαβάσουμε την τελευταία πρόταση με έμφαση. Στα μαθηματικά, η έκφραση 3! διαβάζεται ως "τρία παράγοντα" και είναι πραγματικά ένας στενογραφικός τρόπος για να δηλώσει τον πολλαπλασιασμό πολλών διαδοχικών ολόκληρων αριθμών.

Δεδομένου ότι υπάρχουν πολλά μέρη σε όλα τα μαθηματικά και τις στατιστικές όπου πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς μαζί, ο παράγοντας είναι πολύ χρήσιμος. Ορισμένα από τα κύρια σημεία όπου εμφανίζεται είναι τα συνδυαστικά και η πιθανότητα λογισμός.

Ο ορισμός του παράγοντα είναι αυτός για κάθε θετικό ακέραιο αριθμό n, ο παράγοντας:

n! = ηχ (η - 1) χ (η - 2) χ... x 2 x 1

Πρώτα θα δούμε μερικά παραδείγματα του παράγοντα με μικρές τιμές n:

• 1! = 1
instagram viewer
• 2! = 2 χ 1 = 2
• 3! = 3 χ 2 χ 1 = 6
• 4! = 4 χ 3 χ 2 χ 1 = 24
• 5! = 5 χ 4 χ 3 χ 2 χ 1 = 120
• 6! = 6 χ 5 χ 4 χ 3 χ 2 χ 1 = 720
• 7! = 7 χ 6 χ 5 χ 4 χ 3 χ 2 χ 1 = 5040
• 8! = 8 χ 7 χ 6 χ 5 χ 4 χ 3 χ 2 χ 1 = 40320
• 9! = 9 χ 8 χ 7 χ 6 χ 5 χ 4 χ 3 χ 2 χ 1 = 362880
• 10! = 10 χ 9 χ 8 χ 7 χ 6 χ 5 χ 4 χ 3 χ 2 χ 1 = 3628800

Όπως μπορούμε να δούμε ότι ο παράγοντας παίρνει πολύ μεγάλο πολύ γρήγορα. Κάτι που μπορεί να φαίνεται μικρό, όπως 20! έχει στην πραγματικότητα 19 ψηφία.

Οι συντελεστές είναι εύκολο να υπολογιστούν, αλλά μπορεί να είναι κάπως κουραστικό για τον υπολογισμό. Ευτυχώς, πολλοί αριθμομηχανές έχουν ένα παράγοντα κλειδί (αναζητήστε το! σύμβολο). Αυτή η λειτουργία της αριθμομηχανής θα αυτοματοποιήσει τους πολλαπλασιασμούς.

Μία άλλη τιμή του παράγοντα και εκείνη για την οποία δεν υπάρχει ο τυπικός ορισμός είναι αυτή του μηδενικός συντελεστής. Αν ακολουθήσουμε τον τύπο, τότε δεν θα φτάσουμε σε καμία τιμή για το 0!. Δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι αριθμοί μικρότεροι από 0. Για πολλούς λόγους, είναι σκόπιμο να ορίσετε 0! = 1. Ο συντελεστής για την τιμή αυτή εμφανίζεται ιδιαίτερα στους τύπους για συνδυασμούς και μεταβολές.

Όταν ασχολούμαστε με τους υπολογισμούς, είναι σημαντικό να σκεφτούμε πρίν πατάμε το πλήκτρο factorial στην αριθμομηχανή μας. Για να υπολογίσετε μια έκφραση όπως 100! / 98! υπάρχουν μερικοί διαφορετικοί τρόποι να προχωρήσουμε σε αυτό.

Ένας τρόπος είναι να χρησιμοποιήσετε ένα αριθμομηχανή για να βρείτε και τα δύο 100! και 98!, τότε διαιρέστε το ένα με το άλλο. Αν και αυτός είναι ένας άμεσος τρόπος υπολογισμού, έχει κάποιες δυσκολίες που συνδέονται με αυτό. Μερικοί υπολογιστές δεν μπορούν να χειριστούν εκφράσεις τόσο μεγάλες όσο 100! = 9.33262154 x 10¹⁵⁷. (Η έκφραση 10¹⁵⁷ είναι επιστημονική ένδειξη που σημαίνει ότι πολλαπλασιάζουμε με 1 ακολουθούμενη από 157 μηδενικά.) Όχι μόνο είναι αυτός ο αριθμός μαζικός, αλλά είναι επίσης μόνο μια εκτίμηση στην πραγματική αξία των 100!

Ένας άλλος τρόπος απλοποίησης μιας έκφρασης με factorials όπως αυτή που βλέπουμε εδώ δεν απαιτεί μια αριθμομηχανή. Ο τρόπος προσέγγισης αυτού του προβλήματος είναι να αναγνωρίσουμε ότι μπορούμε να ξαναγράψουμε 100! όχι ως 100 x 99 x 98 x 97 x... x 2 x 1, αλλά ως 100 x 99 x 98! Η έκφραση 100! / 98! τώρα γίνεται (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 χ 99 = 9900.