Αφού βλέπει τύπους που εκτυπώνονται σε ένα εγχειρίδιο ή γράφονται στο διοικητικό συμβούλιο από έναν δάσκαλο, είναι μερικές φορές εκπληκτικό για να διαπιστώσετε ότι πολλοί από αυτούς τους τύπους μπορούν να εξαχθούν από ορισμένους θεμελιώδεις ορισμούς και προσεκτική σκέψη. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα στην πιθανότητα κατά την εξέταση του τύπου για συνδυασμούς. Η εξαγωγή αυτού του τύπου βασίζεται απλώς στην αρχή του πολλαπλασιασμού.
Η αρχή πολλαπλασιασμού
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια δουλειά να κάνει και αυτό το έργο είναι σπασμένο σε δύο συνολικά βήματα. Το πρώτο βήμα μπορεί να γίνει μέσα κ τρόπους και το δεύτερο βήμα μπορεί να γίνει μέσα n τρόπους. Αυτό σημαίνει ότι μετά πολλαπλασιασμού οι αριθμοί αυτοί μαζί, ο αριθμός των τρόπων εκτέλεσης της εργασίας είναι nk.
Για παράδειγμα, εάν έχετε δέκα είδη παγωτού για να διαλέξετε και τρία διαφορετικά toppings, πόσες φορές μπορείτε να φτιάξετε μια σέσουλα, μια σούπα που μπορείτε να φτιάξετε; Πολλαπλασιάστε τρία με 10 για να πάρετε 30 sundaes.
Δημιουργία μεταλλαγών
Τώρα, χρησιμοποιήστε την αρχή πολλαπλασιασμού για να εξαχθεί ο τύπος για τον αριθμό του συνδυασμού των r στοιχεία που λαμβάνονται από ένα σύνολο n στοιχεία. Αφήνω P (n, r) ο αριθμός των μεταλλάξεις του r στοιχεία από ένα σύνολο n και C (n, r) ο αριθμός των συνδυασμών r στοιχεία από ένα σύνολο n στοιχεία.
Σκεφτείτε τι συμβαίνει όταν διαμορφώνετε μια μετάλλαξη r στοιχεία από ένα σύνολο n. Κοιτάξτε αυτό ως διαδικασία δύο σταδίων. Πρώτα, επιλέξτε ένα σύνολο από r στοιχεία από ένα σύνολο n. Αυτός είναι ένας συνδυασμός και υπάρχουν ντο(n, r) τρόπους για να το κάνετε αυτό. Το δεύτερο βήμα στη διαδικασία είναι να παραγγείλετε r στοιχεία με r επιλογές για την πρώτη, r - 1 επιλογές για τη δεύτερη, r - 2 για την τρίτη, 2 επιλογές για την προτελευταία και 1 για την τελευταία. Με την αρχή του πολλαπλασιασμού, υπάρχουν r Χ (r -1) x... x 2 x 1 = r! τρόπους για να το κάνετε αυτό. Αυτός ο τύπος γράφεται με συντελεστή συμβολισμού.
Η εξαγωγή της φόρμουλας
Για να ανακεφαλαιώσουμε, Π(n,r ), ο αριθμός των τρόπων να διαμορφωθεί μια μετάλλαξη του r στοιχεία από ένα σύνολο n καθορίζεται από:
- Δημιουργία συνδυασμού r στοιχεία από σύνολο n σε οποιοδήποτε από τα ντο(n,r ) τρόπους
- Παραγγελία αυτών r στοιχεία από οποιοδήποτε από τα r! τρόπους.
Με βάση την αρχή του πολλαπλασιασμού, ο αριθμός των τρόπων σχηματισμού μιας μετάλλαξης είναι Π(n,r ) = ντο(n,r ) Χ r!.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τις μεταβολές Π(n,r ) = n!/(n - r), που μπορεί να υποκατασταθεί στον παραπάνω τύπο:
n!/(n - r)! = ντο(n,r ) r!.
Τώρα λύστε αυτό, τον αριθμό των συνδυασμών, ντο(n,r ), και να δείτε αυτό ντο(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].
Όπως αποδείχθηκε, λίγη σκέψη και άλγεβρα μπορούν να προχωρήσουν πολύ. Άλλοι τύποι στην πιθανότητα και στις στατιστικές μπορούν επίσης να εξαχθούν με ορισμένες προσεκτικές εφαρμογές των ορισμών.