Ορίστε τη θεωρία και πώς χρησιμοποιείται

Η θεωρία των σετ είναι μια θεμελιώδης ιδέα σε όλα τα μαθηματικά. Αυτός ο κλάδος των μαθηματικών αποτελεί τη βάση για άλλα θέματα.

Δυναμικά ένα σετ είναι μια συλλογή αντικειμένων, τα οποία ονομάζονται στοιχεία. Αν και αυτό μοιάζει με μια απλή ιδέα, έχει κάποιες σημαντικές συνέπειες.

Τα στοιχεία ενός σετ μπορούν πραγματικά να είναι οτιδήποτε - οι αριθμοί, τα κράτη, τα αυτοκίνητα, οι άνθρωποι ή ακόμα και άλλα σύνολα είναι όλες οι πιθανότητες για στοιχεία. Σχεδόν οτιδήποτε μπορεί να συλλεχθεί μαζί μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να σχηματίσει ένα σετ, αν και υπάρχουν μερικά πράγματα που πρέπει να προσέξουμε.

Τα στοιχεία ενός συνόλου είναι είτε σε ένα σύνολο είτε όχι σε ένα σετ. Μπορούμε να περιγράψουμε ένα σετ από μια ιδιότητα ορισμού ή μπορούμε να απαριθμήσουμε τα στοιχεία του σετ. Η σειρά που αναφέρονται δεν είναι σημαντική. Έτσι τα σύνολα {1, 2, 3} και {1, 3, 2} είναι ίσα σύνολα, επειδή και τα δύο περιέχουν τα ίδια στοιχεία.

Δύο σύνολα αξίζουν ιδιαίτερη μνεία. Το πρώτο είναι το καθολικό σύνολο, που τυπικά υποδηλώνεται

Το άλλο σύνολο που απαιτεί κάποια προσοχή ονομάζεται άδειο σετ. Το κενό σύνολο είναι το μοναδικό σύνολο που είναι το σύνολο χωρίς στοιχεία. Μπορούμε να γράψουμε αυτό ως {} και να υποδηλώσουμε αυτό το σύνολο με το σύμβολο ∅.

Μια συλλογή μερικών από τα στοιχεία ενός συνόλου ΕΝΑ ονομάζεται a υποσύνολο του ΕΝΑ. Το λέμε αυτό ΕΝΑ είναι ένα υποσύνολο του σι αν και μόνο αν κάθε στοιχείο του ΕΝΑ είναι επίσης ένα στοιχείο του σι. Εάν υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός n των στοιχείων σε ένα σετ, τότε υπάρχουν συνολικά 2ⁿ υποσύνολα του ΕΝΑ. Αυτή η συλλογή όλων των υποσυνόλων του ΕΝΑ είναι ένα σύνολο που ονομάζεται ισχύος του ΕΝΑ.

Ακριβώς όπως μπορούμε να εκτελέσουμε πράξεις όπως την προσθήκη - σε δύο αριθμούς για να αποκτήσουμε ένα νέο αριθμό, οι λειτουργίες θεωρίας συνόλων χρησιμοποιούνται για να σχηματίσουν ένα σύνολο από δύο άλλα σύνολα. Υπάρχουν πολλές λειτουργίες, αλλά σχεδόν όλες αποτελούνται από τις ακόλουθες τρεις λειτουργίες:

• Ενωση - Μια ένωση σημαίνει μια συγκέντρωση. Η ένωση των συνόλων ΕΝΑ και σι αποτελείται από τα στοιχεία που βρίσκονται σε κάθε μία από αυτές ΕΝΑ ή σι.
• Σημείο τομής - Μια διασταύρωση είναι όπου συναντιούνται δύο πράγματα. Η διασταύρωση των συνόλων ΕΝΑ και σι αποτελείται από τα στοιχεία και στα δύο ΕΝΑ και σι.
• Συμπλήρωμα - Το συμπλήρωμα του συνόλου ΕΝΑ αποτελείται από όλα τα στοιχεία του καθολικού συνόλου που δεν είναι στοιχεία του ΕΝΑ.

Ένα εργαλείο που βοηθά στην απεικόνιση της σχέσης μεταξύ διαφορετικών συνόλων ονομάζεται διάγραμμα Venn. Ένα ορθογώνιο αντιπροσωπεύει το καθολικό σύνολο για το πρόβλημά μας. Κάθε σετ αντιπροσωπεύεται με έναν κύκλο. Εάν οι κύκλοι επικαλύπτονται μεταξύ τους, τότε αυτό απεικονίζει τη διασταύρωση των δύο συνόλων μας.

Η θεωρία των σετ χρησιμοποιείται σε όλα τα μαθηματικά. Χρησιμοποιείται ως βάση για πολλά υποπεδία των μαθηματικών. Στους τομείς που σχετίζονται με τις στατιστικές, χρησιμοποιείται ιδιαίτερα στην πιθανότητα. Πολλές από τις έννοιες στην πιθανότητα προέρχονται από τις συνέπειες της θεωρίας συνόλων. Πράγματι, ένας τρόπος για να δηλώσετε το αξίες της πιθανότητας περιλαμβάνει τη θεωρία των συνόλων.