Καμπύλη καμπύλης και Ορισμός κανονικής διανομής

Ο όρος καμπύλη καμπάνας χρησιμοποιείται για να περιγράψει τη μαθηματική έννοια που ονομάζεται κανονική κατανομή, μερικές φορές αναφέρεται ως Gaussian κατανομή. Ως "καμπύλη καμπύλης" αναφέρεται το σχήμα καμπάνας που δημιουργείται όταν σχεδιάζεται μια γραμμή χρησιμοποιώντας τα σημεία δεδομένων για ένα στοιχείο που πληροί τα κριτήρια της κανονικής διανομής.

Σε μια καμπύλη καμπάνας, το κέντρο περιέχει τον μεγαλύτερο αριθμό μιας τιμής και, ως εκ τούτου, είναι το υψηλότερο σημείο στο τόξο της γραμμής. Το σημείο αυτό αναφέρεται στο σημαίνω, αλλά με απλά λόγια, είναι ο υψηλότερος αριθμός εμφανίσεων ενός στοιχείου (σε στατιστικούς όρους, ο τρόπος).

Το σημαντικό πράγμα που πρέπει να σημειωθεί για ένα κανονική κατανομή είναι ότι η καμπύλη συγκεντρώνεται στο κέντρο και μειώνεται σε κάθε πλευρά. Αυτό είναι σημαντικό δεδομένου ότι τα δεδομένα έχουν λιγότερη τάση να παράγουν ασυνήθιστα ακραίες τιμές, που ονομάζονται υπερβολικές τιμές, σε σύγκριση με άλλες κατανομές. Επίσης, η καμπύλη κουδουνιών υποδηλώνει ότι τα δεδομένα είναι συμμετρικά. Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να δημιουργήσετε εύλογες προσδοκίες ως προς το ενδεχόμενο ένα αποτέλεσμα να βρίσκεται μέσα σε ένα κυμαίνεται στα αριστερά ή στα δεξιά του κέντρου, αφού μετρήσετε την ποσότητα απόκλισης που περιέχεται στα δεδομένα. Αυτό μετράται σε όρους

Ένα γράφημα καμπύλης κουδουνιού εξαρτάται από δύο παράγοντες: τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. Ο μέσος όρος προσδιορίζει τη θέση του κέντρου και η τυπική απόκλιση καθορίζει το ύψος και το πλάτος του κουδουνιού. Για παράδειγμα, μια μεγάλη τυπική απόκλιση δημιουργεί ένα κουδούνι που είναι μικρό και ευρύ, ενώ μια μικρή τυπική απόκλιση δημιουργεί μια ψηλή και στενή καμπύλη.

Για να κατανοήσετε τους παράγοντες πιθανότητας μιας κανονικής διανομής, πρέπει να κατανοήσετε τους ακόλουθους κανόνες:

1. Η συνολική επιφάνεια κάτω από την καμπύλη είναι ίση με 1 (100%)
2. Περίπου το 68% της περιοχής κάτω από την καμπύλη εμπίπτει σε μία τυπική απόκλιση.
3. Περίπου το 95% της περιοχής κάτω από την καμπύλη εμπίπτει σε δύο τυπικές αποκλίσεις.
4. Περίπου το 99,7% της περιοχής κάτω από την καμπύλη εμπίπτει σε τρεις τυπικές αποκλίσεις.

Τα στοιχεία 2, 3 και 4 παραπάνω αναφέρονται μερικές φορές ως εμπειρικός κανόνας ή τον κανόνα 68-95-99.7. Μόλις διαπιστώσετε ότι τα δεδομένα διανέμονται κανονικά (καμπάνα καμπύλη) και υπολογίστε το μέσο και τυπική απόκλιση, μπορείτε να καθορίσετε το πιθανότητα ότι ένα μοναδικό σημείο δεδομένων θα εμπίπτει σε ένα δεδομένο εύρος δυνατοτήτων.

Ένα καλό παράδειγμα καμπύλης καμπάνας ή κανονικής κατανομής είναι το ρίξτε δύο ζάρια. Η διανομή επικεντρώνεται γύρω από τον αριθμό επτά και η πιθανότητα μειώνεται καθώς απομακρύνεστε από το κέντρο.

Εδώ είναι το ποσοστό πιθανότητας των διαφόρων αποτελεσμάτων όταν ρίχνετε δύο ζάρια.

• Δύο: (1/36) 2.78%
• Τρία: (2/36) 5.56%
• Τέσσερα: (3/36) 8.33%
• Πέντε: (4/36) 11.11%
• Εξι: (5/36) 13.89%
• Επτά: (6/36) 16,67% = πιθανότερο αποτέλεσμα
• Οκτώ: (5/36) 13.89%
• Εννέα: (4/36) 11.11%
• Δέκα: (3/36) 8.33%
• Εντεκα: (2/36) 5.56%
• Δώδεκα: (1/36) 2.78%

Οι κανονικές κατανομές έχουν πολλές βολικές ιδιότητες, έτσι σε πολλές περιπτώσεις, ειδικά στο η φυσικη και αστρονομία, τυχαίες παραλλαγές με άγνωστες κατανομές θεωρούνται συχνά ότι είναι κανονικές για να επιτρέπουν υπολογισμούς πιθανότητας. Αν και αυτό μπορεί να είναι μια επικίνδυνη υπόθεση, είναι συχνά μια καλή προσέγγιση λόγω ενός εκπληκτικού αποτελέσματος γνωστό ως κεντρικό όριο όριο.

Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι ο μέσος όρος οποιουδήποτε συνόλου παραλλαγών με οποιαδήποτε κατανομή που έχει ένα πεπερασμένο μέσο και διακύμανση τείνει να συμβεί σε μια κανονική κατανομή. Πολλά κοινά χαρακτηριστικά, όπως βαθμολογίες δοκιμών ή ύψος, ακολουθούν περίπου κανονικές κατανομές, με λίγα μέλη στα υψηλά και χαμηλά άκρα και πολλά στη μέση.

Υπάρχουν ορισμένοι τύποι δεδομένων που δεν ακολουθούν κανονικό μοτίβο διανομής. Αυτά τα σύνολα δεδομένων δεν θα πρέπει να αναγκάζονται να προσπαθούν να χωρέσουν μια καμπύλη καμπάνας. Ένα κλασικό παράδειγμα θα είναι οι μαθητές, οι οποίοι συχνά έχουν δύο τρόπους. Άλλοι τύποι δεδομένων που δεν ακολουθούν την καμπύλη περιλαμβάνουν το εισόδημα, την αύξηση του πληθυσμού και τις μηχανικές βλάβες.