Κοινά παραδείγματα αμέτρητων συνόλων

Δεν είναι όλα τα άπειρα σύνολα τα ίδια. Ένας τρόπος για να ξεχωρίσετε αυτά τα σύνολα είναι να ρωτήσετε αν το σετ είναι μετρημένο άπειρος ή όχι. Με αυτό τον τρόπο, λέμε ότι τα άπειρα σύνολα είναι είτε μετρήσιμα είτε αναρίθμητα. Θα εξετάσουμε διάφορα παραδείγματα άπειρων συνόλων και θα καθορίσουμε ποια από αυτά είναι αναρίθμητα.

Αρχίζουμε αποκλείοντας διάφορα παραδείγματα άπειρων συνόλων. Πολλά από τα άπειρα σύνολα που θα σκεφτόμασταν αμέσως θεωρούνται απεριόριστα. Αυτό σημαίνει ότι μπορούν να τοποθετηθούν σε μια one-to-one αλληλογραφία με τους φυσικούς αριθμούς.

Οι φυσικοί αριθμοί, οι ακέραιοι αριθμοί και οι λογικοί αριθμοί είναι απλώς απεριόριστοι. Οποιαδήποτε ένωση ή διασταύρωση από απίστευτα άπειρα σύνολα είναι επίσης μετρήσιμη. Το καρτεσιανό προϊόν οποιουδήποτε αριθμού μετρήσιμων συνόλων είναι μετρήσιμο. Οποιοδήποτε υποσύνολο ενός μετρήσιμου συνόλου είναι επίσης μετρήσιμο.

Ο συνηθέστερος τρόπος που εισάγονται αμέτρητα σετ είναι η εξέταση του διαστήματος (0, 1) του

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι επίσης αμέτρητο. Ένας τρόπος για να δείξετε αυτό είναι να χρησιμοποιήσετε τη λειτουργία εφαπτομένης ενός προς ένα φά ( Χ ) = μαύρισμα Χ. Ο τομέας αυτής της συνάρτησης είναι το διάστημα (-π / 2, π / 2), ένα αμέτρητο σύνολο και το εύρος είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.

Οι λειτουργίες της βασικής θεωρίας των συνόλων μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την παραγωγή περισσότερων παραδειγμάτων άκρως απεριόριστων συνόλων:

• Αν ΕΝΑ είναι ένα υποσύνολο του σι και ΕΝΑ είναι αμέτρητο, τότε είναι έτσι σι. Αυτό παρέχει μια πιο απλή απόδειξη ότι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι αμέτρητο.
• Αν ΕΝΑ είναι αναρίθμητη και σι είναι κάθε σύνολο, τότε η ένωση ΕΝΑ U σι είναι επίσης αναπόφευκτη.
• Αν ΕΝΑ είναι αναρίθμητη και σι είναι κάθε σύνολο, τότε το καρτεσιανό προϊόν ΕΝΑ Χ σι είναι επίσης αναπόφευκτη.
• Αν ΕΝΑ είναι άπειρη (ακόμη και απίστευτα άπειρη) τότε το ισχύος του ΕΝΑ είναι αναρίθμητη.

Δύο άλλα παραδείγματα, τα οποία σχετίζονται μεταξύ τους, είναι κάπως περίεργα. Όχι κάθε υποσύνολο των πραγματικών αριθμών είναι απεριόριστα άπειρο (πράγματι, οι ορθολογικοί αριθμοί αποτελούν ένα μετρήσιμο υποσύνολο των πραγματικών που είναι επίσης πυκνό). Ορισμένα υποσύνολα είναι απεριόριστα άπειρα.

Ένα από αυτά τα αμέτρητα άπειρα υποσύνολα περιλαμβάνει ορισμένους τύπους δεκαδικών επεκτάσεων. Αν επιλέξουμε δύο αριθμούς και σχηματίσουμε κάθε πιθανή δεκαδική επέκταση με μόνο αυτά τα δύο ψηφία, τότε το άπειρο σύνολο που προκύπτει είναι αναρίθμητο.

Ένα άλλο σύνολο είναι πιο περίπλοκο για να κατασκευάσει και είναι επίσης αμέτρητο. Ξεκινήστε με το κλειστό διάστημα [0,1]. Αφαιρέστε το μεσαίο τρίτο αυτού του συνόλου, με αποτέλεσμα το [0, 1/3] U [2/3, 1]. Τώρα αφαιρέστε το μεσαίο τρίτο από τα υπόλοιπα κομμάτια του σετ. Έτσι (1/9, 2/9) και (7/9, 8/9) αφαιρείται. Συνεχίζουμε με αυτόν τον τρόπο. Το σύνολο των σημείων που παραμένουν μετά από όλα αυτά τα διαστήματα αφαιρούνται δεν είναι ένα διάστημα, ωστόσο, είναι απεριόριστα άπειρο. Αυτό το σύνολο ονομάζεται Cantor Set.

Υπάρχουν άπειρα πολλά αμέτρητα σύνολα, αλλά τα παραπάνω παραδείγματα είναι μερικά από τα πιο συχνά συναντώμενα σετ.