Υπολογισμός ροπής με παραδείγματα

Όταν μελετάμε πώς περιστρέφονται τα αντικείμενα, γίνεται γρήγορα απαραίτητο να καταλάβουμε πώς μια δεδομένη δύναμη έχει ως αποτέλεσμα μια αλλαγή στην περιστροφική κίνηση. Η τάση μιας δύναμης να προκαλεί ή να αλλάζει περιστροφική κίνηση ονομάζεται ροπή, και είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες που πρέπει να κατανοήσουμε για την επίλυση καταστάσεων περιστροφικής κίνησης.

Η ροπή (που ονομάζεται επίσης στιγμή - κυρίως από τους μηχανικούς) υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τη δύναμη και την απόσταση. ο Μονάδες SI της ροπής είναι νεωτερισμοί ή N * m (παρόλο που αυτές οι μονάδες είναι ίδιες με τις Joules, η ροπή δεν είναι δουλειά ή ενέργεια, έτσι πρέπει να είναι καινούργια μέτρα).

Στους υπολογισμούς, η ροπή αντιπροσωπεύεται από το ελληνικό γράμμα tau: τ.

Η ροπή είναι α διάνυσμα ποσότητα, που σημαίνει ότι έχει μια κατεύθυνση και ένα μέγεθος. Αυτό είναι ειλικρινά ένα από τα πιο δύσκολα μέρη της εργασίας με τη ροπή, επειδή υπολογίζεται χρησιμοποιώντας ένα διάνυσμα προϊόν, το οποίο σημαίνει ότι πρέπει να εφαρμόσετε τον κανόνα δεξιά. Σε αυτή την περίπτωση, πάρτε το δεξί σας χέρι και στρέψτε τα δάχτυλα του χεριού σας προς την κατεύθυνση της περιστροφής που προκαλείται από τη δύναμη. Ο αντίχειρας του δεξιού σας χεριού τώρα δείχνει προς την κατεύθυνση του διανύσματος ροπής. (Αυτό μπορεί περιστασιακά να αισθάνεται ελαφρώς ανόητο, καθώς κρατάτε το χέρι σας επάνω και το παντομίμα για να το κάνετε υπολογίστε το αποτέλεσμα μιας μαθηματικής εξίσωσης, αλλά είναι ο καλύτερος τρόπος για να απεικονίσετε την κατεύθυνση του διάνυσμα.)

Ο τύπος φορέα που αποδίδει το διάνυσμα ροπής τ είναι:

τ = r × φά

Ο φορέας r είναι ο φορέας θέσης ως προς την προέλευση στον άξονα περιστροφής (Αυτός ο άξονας είναι ο τ στο γραφικό). Πρόκειται για ένα διάνυσμα μεγέθους της απόστασης από την οποία εφαρμόζεται η δύναμη στον άξονα περιστροφής. Δείχνει από τον άξονα περιστροφής προς το σημείο όπου εφαρμόζεται η δύναμη.

Το μέγεθος του φορέα υπολογίζεται με βάση θ, η οποία είναι η γωνιακή διαφορά μεταξύ r και φά, χρησιμοποιώντας τον τύπο:

τ = rFαμαρτία(θ)

Μερικά βασικά σημεία για την παραπάνω εξίσωση, με ορισμένες τιμές αναφοράς του θ:

• θ = 0 ° (ή 0 ακτίνια) - Το διάνυσμα δύναμης δείχνει προς την ίδια κατεύθυνση με το r. Όπως μπορεί να μαντέψετε, αυτή είναι μια κατάσταση όπου η δύναμη δεν θα προκαλέσει περιστροφή γύρω από τον άξονα... και τα μαθηματικά το φέρνουν αυτό έξω. Δεδομένου ότι η αμαρτία (0) = 0, η κατάσταση αυτή έχει ως αποτέλεσμα τ = 0.
• θ = 180 ° (ή π radians) - Αυτή είναι μια κατάσταση όπου το διάνυσμα δυνάμεων κατευθύνεται κατευθείαν σε r. Και πάλι, η στροφή προς τον άξονα περιστροφής δεν θα προκαλέσει καμία περιστροφή και, για άλλη μια φορά, τα μαθηματικά υποστηρίζουν αυτή τη διαίσθηση. Δεδομένου ότι η αμαρτία (180 °) = 0, η τιμή της ροπής είναι και πάλι τ = 0.
• θ = 90 ° (ή π/ 2 ακτίνια) - Εδώ, το διάνυσμα δύναμης είναι κάθετο προς το διάνυσμα θέσης. Αυτό φαίνεται σαν ο πιο αποτελεσματικός τρόπος που θα μπορούσατε να πιέσετε το αντικείμενο για να πάρετε μια αύξηση στην περιστροφή, αλλά τα μαθηματικά υποστηρίζουν αυτό; Λοιπόν, η αμαρτία (90 °) = 1, η οποία είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να φτάσει η συνάρτηση ημίτονο, αποδίδοντας ένα αποτέλεσμα τ = rF. Με άλλα λόγια, μια δύναμη εφαρμοζόμενη σε οποιαδήποτε άλλη γωνία θα παρείχε μικρότερη ροπή από ότι όταν εφαρμόζεται σε 90 μοίρες.
• Το ίδιο επιχείρημα όπως παραπάνω ισχύει και για τις περιπτώσεις θ = -90 ° (ή -π/ 2 ακτίνια), αλλά με τιμή αμαρτίας (-90 °) = -1 με αποτέλεσμα τη μέγιστη ροπή στην αντίθετη κατεύθυνση.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα όπου εφαρμόζετε μια κατακόρυφη δύναμη προς τα κάτω, όπως όταν προσπαθείτε να χαλαρώσετε τα παξιμάδια των παξιμαδιών σε ένα επίπεδο λάστιχο, πατώντας το κλειδί των ωτίων. Σε αυτή την περίπτωση, η ιδανική κατάσταση είναι να έχετε το οδοντωτό κλειδί απόλυτα οριζόντια, ώστε να μπορείτε να πατήσετε στο τέλος του και να πάρετε τη μέγιστη ροπή. Δυστυχώς, αυτό δεν λειτουργεί. Αντίθετα, το κλειδί της λαβίδας εναρμονίζεται στα παξιμάδια των ωτίων, έτσι ώστε να βρίσκεται σε κλίση 15% προς την οριζόντια θέση. Το γαλλικό κλειδί έχει μήκος 0,60 μ. Μέχρι το τέλος, όπου εφαρμόζετε το βάρος των 900 Ν.

Ποιο είναι το μέγεθος της ροπής;

Τι γίνεται με την κατεύθυνση ;: Εφαρμόζοντας τον κανόνα "lefty-loosey, righty-tighty", θα θέλετε να περιστρέψετε το παξιμάδι αριστερά - αριστερόστροφα - για να το χαλαρώσετε. Χρησιμοποιώντας το δεξί σας χέρι και περιστρέφοντας τα δάχτυλά σας προς την αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού, ο αντίχειρας ξετυλίγεται. Έτσι η κατεύθυνση της ροπής είναι μακριά από τα ελαστικά... που είναι και η κατεύθυνση που θέλετε τα καρύδια να ξεπεράσουν τελικά.

Για να αρχίσετε να υπολογίζετε την τιμή της ροπής, πρέπει να συνειδητοποιήσετε ότι υπάρχει ένα ελαφρώς παραπλανητικό σημείο στην παραπάνω ρύθμιση. (Αυτό είναι ένα κοινό πρόβλημα σε αυτές τις περιπτώσεις.) Σημειώστε ότι το 15% που αναφέρθηκε παραπάνω είναι η κλίση από την οριζόντια, αλλά αυτή δεν είναι η γωνία θ. Η γωνία μεταξύ r και φά πρέπει να υπολογιστεί. Υπάρχει μια κλίση 15 ° από το οριζόντιο και μια απόσταση 90 ° από την οριζόντια προς την προς τα κάτω διανύσματος δύναμης, με αποτέλεσμα συνολικά 105 ° ως την τιμή του θ.

Αυτή είναι η μόνη μεταβλητή που απαιτεί ρύθμιση, οπότε με αυτή τη θέση απλά αναθέτουμε τις άλλες τιμές μεταβλητών:

• θ = 105°
• r = 0,60 μ
• φά = 900 Ν

τ = rF αμαρτία(θ) =
(0,60 m) (900 N) αμαρτία (105 °) = 540 × 0,097 Nm = 520 Nm

Σημειώστε ότι η παραπάνω απάντηση περιελάμβανε τη διατήρηση μόνο δύο παραδειγματικές φυγούρες, έτσι είναι στρογγυλεμένο.

Οι παραπάνω εξισώσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιμες όταν υπάρχει μία και μόνο γνωστή δύναμη που ενεργεί πάνω σε ένα αντικείμενο, αλλά υπάρχουν πολλές περιπτώσεις όπου μια περιστροφή μπορεί να προκληθεί από μια δύναμη που δεν μπορεί εύκολα να μετρηθεί (ή ίσως πολλές τέτοιες δυνάμεις). Εδώ, η ροπή συχνά δεν υπολογίζεται άμεσα, αλλά μπορεί να υπολογιστεί σε σχέση με το σύνολο γωνιώδης επιτάχυνση, α, ότι το αντικείμενο υφίσταται. Αυτή η σχέση δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση:

• Στ - Το καθαρό άθροισμα όλων των ροπών που επηρεάζουν το αντικείμενο
• Εγώ - ο στιγμιαία αδράνεια, η οποία αντιπροσωπεύει την αντίσταση του αντικειμένου σε μια αλλαγή στην γωνιακή ταχύτητα
• α - γωνιακή επιτάχυνση