Υπολογισμοί Με τη λειτουργία Gamma

ο γ. λειτουργία ορίζεται από τον ακόλουθο περίπλοκο τύπο:

Γ ( z ) = ∫₀^∞μι ^{- t}t^z-1dt

Μια ερώτηση που οι άνθρωποι έχουν όταν συναντήσουν για πρώτη φορά αυτή τη συγκεχυμένη εξίσωση είναι: "Πώς χρησιμοποιείτε αυτόν τον τύπο για να υπολογίσετε τις τιμές του γ-λειτουργία; " Αυτό είναι ένα σημαντικό ζήτημα, καθώς είναι δύσκολο να γνωρίζουμε τι σημαίνει αυτή η λειτουργία και ποια είναι όλα τα σύμβολα Για.

Ένας τρόπος για να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση είναι να εξετάσετε αρκετούς υπολογισμούς δείγματος με τη λειτουργία γάμμα. Πριν να το κάνουμε αυτό, υπάρχουν λίγα πράγματα από τον λογισμό που πρέπει να γνωρίζουμε, όπως πώς να ενσωματώσουμε ένα ακατάλληλο ενιαίο σύνολο τύπου Ι και ότι e είναι μια μαθηματική σταθερά.

Πριν κάνουμε οποιονδήποτε υπολογισμό, εξετάζουμε τα κίνητρα πίσω από αυτούς τους υπολογισμούς. Πολλές φορές οι λειτουργίες γάμμα εμφανίζονται πίσω από τις σκηνές. Αρκετές λειτουργίες πυκνότητας πιθανότητας αναφέρονται στη λειτουργία γάμμα. Παραδείγματα αυτών περιλαμβάνουν τη διανομή γάμμα και τη διανομή των μαθητών, Η σημασία της λειτουργίας γάμμα δεν μπορεί να υπερεκτιμηθεί.

Ο πρώτος υπολογισμός του παραδείγματος που θα μελετήσουμε είναι η εύρεση της τιμής της γάμμα συνάρτησης για Γ (1). Αυτό βρίσκεται με τη ρύθμιση z = 1 στον παραπάνω τύπο:

∫₀^∞μι ^{- t}dt

Υπολογίζουμε το παραπάνω ολοκλήρωμα σε δύο βήματα:

• Το αόριστο ολοκλήρωμα ∫μι ^{- t}dt= -μι ^{- t} + ντο
• Αυτό είναι ένα ακατάλληλο ολοκλήρωμα, έτσι έχουμε ∫₀^∞μι ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -μι ^{- β} + μι ⁰ = 1

Ο επόμενος υπολογισμός παράδειγμα που θα εξετάσουμε είναι παρόμοιος με το τελευταίο παράδειγμα, αλλά αυξάνουμε την τιμή του z κατά 1. Τώρα υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης γάμμα για Γ (2) ρυθμίζοντας z = 2 στον παραπάνω τύπο. Τα βήματα είναι τα ίδια με τα παραπάνω:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞μι ^{- t}t dt

Το αόριστο ολοκλήρωμα ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -μι ^{- t} + C. Αν και έχουμε αυξήσει μόνο την αξία του z κατά 1, χρειάζεται περισσότερη δουλειά για να υπολογιστεί αυτό το ολοκλήρωμα. Προκειμένου να βρούμε αυτό το ολοκλήρωμα, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μια τεχνική από το λογισμικό που είναι γνωστό ως ενσωμάτωση με εξαρτήματα. Τώρα χρησιμοποιούμε τα όρια της ολοκλήρωσης ακριβώς όπως και παραπάνω και πρέπει να υπολογίσουμε:

lim_{b → ∞}- να είναι ^{- β} -μι ^{- β} -0e ⁰ + μι ⁰.

Ένα αποτέλεσμα από τον υπολογισμό που ονομάζεται κανόνας του L'Hospital μας επιτρέπει να υπολογίσουμε το όριο lim_{b → ∞}- να είναι ^{- β} = 0. Αυτό σημαίνει ότι η αξία του ολοκληρώματός μας παραπάνω είναι 1.

Ένα άλλο χαρακτηριστικό της λειτουργίας γάμμα και αυτό που συνδέει το με το παραγοντικό είναι ο τύπος Γ (z +1 ) =zΓ (z ) Για z κάθε πολύπλοκο αριθμό με θετικό πραγματικός μέρος. Ο λόγος για τον οποίο αυτό ισχύει είναι άμεσο αποτέλεσμα του τύπου για τη λειτουργία γάμμα. Χρησιμοποιώντας την ολοκλήρωση με μέρη μπορούμε να καθορίσουμε αυτή την ιδιότητα της λειτουργίας γάμμα.