Μια φυσική ερώτηση που πρέπει να ρωτήσω για μια κατανομή πιθανότητας είναι: "Ποιο είναι το κέντρο της;" Η αναμενόμενη τιμή είναι μια τέτοια μέτρηση του κέντρου μιας κατανομής πιθανότητας. Δεδομένου ότι μετράει τον μέσο όρο, δεν θα πρέπει να εκπλήσσει κανείς ότι αυτός ο τύπος προέρχεται από τον μέσο όρο.
Για να καθορίσουμε ένα σημείο εκκίνησης, πρέπει να απαντήσουμε στην ερώτηση "Ποια είναι η αναμενόμενη τιμή;" Υποθέστε ότι έχουμε μια τυχαία μεταβλητή που σχετίζεται με ένα πείραμα πιθανότητας. Ας πούμε ότι επαναλαμβάνουμε αυτό το πείραμα ξανά και ξανά. Σε μακροχρόνιο χρονικό διάστημα αρκετών επαναλήψεων του ίδιου πειράματος πιθανότητας, αν υπολογίσαμε όλες τις τιμές μας τυχαία μεταβλητή, θα έχουμε την αναμενόμενη αξία.
Στη συνέχεια, θα δούμε πώς να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την αναμενόμενη τιμή. Θα εξετάσουμε τόσο τις διακριτές όσο και τις συνεχείς ρυθμίσεις και θα δούμε τις ομοιότητες και τις διαφορές στους τύπους.
Ο τύπος για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή
Ξεκινάμε αναλύοντας τη διακριτή περίπτωση. Δεδομένης μίας διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Χ, υποθέστε ότι έχει τιμές Χ1, Χ2, Χ3,... Χn, και αντίστοιχες πιθανότητες Π1, Π2, Π3,... Πn. Αυτό λέει ότι δίνει τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας για αυτή την τυχαία μεταβλητή φά(ΧΕγώ) = ΠΕγώ.Η αναμενόμενη τιμή του Χ δίνεται από τον τύπο:
ΜΙ(Χ) = Χ1Π1 + Χ2Π2 + Χ3Π3 +... + ΧnΠn.
Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας και τη σημείωση αθροίσματος, μπορούμε να γράψουμε πιο συμπαγώς αυτόν τον τύπο ως εξής, όπου το άθροισμα λαμβάνεται από τον δείκτη Εγώ:
ΜΙ(Χ) = Σ ΧΕγώφά(ΧΕγώ).
Αυτή η έκδοση του τύπου είναι χρήσιμη για να δει γιατί λειτουργεί επίσης όταν έχουμε ένα άπειρο χώρο δείγματος. Ο τύπος αυτός μπορεί επίσης εύκολα να ρυθμιστεί για τη συνεχή περίπτωση.
Ενα παράδειγμα
Αναστρέψτε ένα κέρμα τρεις φορές και αφήστε το Χ είναι ο αριθμός των κεφαλών. Η τυχαία μεταβλητή Χ είναι διακριτή και πεπερασμένη. Οι μόνες πιθανές τιμές που μπορούμε να έχουμε είναι 0, 1, 2 και 3. Αυτό έχει κατανομή πιθανότητας 1/8 για Χ = 0, 3/8 για Χ = 1, 3/8 για Χ = 2, 1/8 για Χ = 3. Χρησιμοποιήστε τον τύπο αναμενόμενης τιμής για να λάβετε:
(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5
Σε αυτό το παράδειγμα, βλέπουμε ότι, μακροπρόθεσμα, θα έχουμε κατά μέσο όρο συνολικά 1,5 κεφαλές από αυτό το πείραμα. Αυτό έχει νόημα με τη διαίσθησή μας ότι το ήμισυ των 3 είναι 1,5.
Ο τύπος για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή
Στρέφουμε τώρα σε μια συνεχή τυχαία μεταβλητή, την οποία θα υποδείξουμε Χ. Θα αφήσουμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Χ να δοθεί από τη λειτουργία φά(Χ).
Η αναμενόμενη τιμή του Χ δίνεται από τον τύπο:
ΜΙ(Χ) = ∫ x f(Χ) δΧ.
Εδώ βλέπουμε ότι η αναμενόμενη τιμή της τυχαίας μας μεταβλητής εκφράζεται ως αναπόσπαστο μέρος.
Εφαρμογές Αναμενόμενης Αξίας
Υπάρχουν πολλά αιτήσεις για την αναμενόμενη αξία μιας τυχαίας μεταβλητής. Αυτός ο τύπος κάνει μια ενδιαφέρουσα εμφάνιση στο Αγία Πετρούπολη Παράδοξο.