Ποια είναι η αναμενόμενη τιμή στην πιθανότητα;

Βρίσκεστε σε ένα καρναβάλι και βλέπετε ένα παιχνίδι. Για $ 2 κυλίνεις ένα τυπικό έξι όψεων. Αν ο αριθμός που εμφανίζεται είναι έξι κερδίζετε $ 10, αλλιώς δεν κερδίζετε τίποτα. Εάν προσπαθείτε να κερδίσετε χρήματα, είναι προς το συμφέρον σας να παίξετε το παιχνίδι; Για να απαντήσουμε σε μια τέτοια ερώτηση, χρειαζόμαστε την έννοια της αναμενόμενης αξίας.

Η αναμενόμενη τιμή μπορεί πραγματικά να θεωρηθεί ως ο μέσος όρος μιας τυχαίας μεταβλητής. Αυτό σημαίνει ότι εάν εκτελέσατε πάλι ένα πείραμα πιθανότητας, παρακολουθώντας τα αποτελέσματα, η αναμενόμενη τιμή είναι η μέση τιμή όλων των τιμών που λαμβάνονται. Η αναμενόμενη αξία είναι αυτό που πρέπει να προβλέπετε να συμβαίνει μακροπρόθεσμα σε πολλές δοκιμές ενός τυχερού παιχνιδιού.

Το παιχνίδι καρναβαλιού που αναφέρθηκε παραπάνω είναι ένα παράδειγμα διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Η μεταβλητή δεν είναι συνεχής και κάθε αποτέλεσμα έρχεται σε μας σε έναν αριθμό που μπορεί να διαχωριστεί από τους άλλους. Για να βρείτε την αναμενόμενη αξία ενός παιχνιδιού που έχει αποτελέσματα

Χ₁Π₁ + Χ₂Π₂ +... + Χ_nΠ_n.

Για το παραπάνω παιχνίδι, έχετε 5/6 πιθανότητα να μην κερδίσετε τίποτα. Η αξία αυτού του αποτελέσματος είναι -2, δεδομένου ότι ξοδέψατε $ 2 για να παίξετε το παιχνίδι. Έξι έξι έχουν πιθανότητα εμφάνισης 1/6 και αυτή η τιμή έχει αποτέλεσμα 8. Γιατί 8 και όχι 10; Και πάλι πρέπει να υπολογίσουμε τα $ 2 που πληρώσαμε για να παίξουμε και 10 - 2 = 8.

Τώρα συνδέστε αυτές τις τιμές και τις πιθανότητες στην αναμενόμενη αξίας και καταλήγουν με: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Αυτό σημαίνει ότι μακροπρόθεσμα, θα πρέπει να περιμένετε να χάσετε κατά μέσο όρο περίπου 33 σεντ κάθε φορά που παίζετε αυτό το παιχνίδι. Ναι, θα κερδίσετε μερικές φορές. Αλλά θα χάσετε πιο συχνά.

Τώρα υποθέστε ότι το παιχνίδι καρναβαλιού έχει τροποποιηθεί ελαφρώς. Για το ίδιο εισιτήριο εισόδου $ 2, εάν ο αριθμός που εμφανίζεται είναι έξι τότε κερδίζετε $ 12, αλλιώς δεν κερδίζετε τίποτα. Η αναμενόμενη αξία αυτού του παιχνιδιού είναι -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. Μακροπρόθεσμα, δεν θα χάσετε χρήματα, αλλά δεν θα κερδίσετε κανένα. Μην περιμένετε να δείτε ένα παιχνίδι με αυτούς τους αριθμούς στο τοπικό σας καρναβάλι. Εάν μακροπρόθεσμα, δεν θα χάσετε χρήματα, τότε το καρναβάλι δεν θα κάνει τίποτα.

Τώρα γυρίστε στο καζίνο. Με τον ίδιο τρόπο όπως πριν, μπορούμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη αξία τυχερών παιχνιδιών όπως η ρουλέτα. Στις ΗΠΑ ένας τροχός ρουλέτας έχει 38 αρίθμηση αριθμών από 1 έως 36, 0 και 00. Τα μισά από τα 1-36 είναι κόκκινα, τα μισά είναι μαύρα. Τόσο το 0 όσο και το 00 είναι πράσινο. Μια μπάλα τυχαία προσγειώνεται σε μία από τις υποδοχές και τα στοιχήματα τοποθετούνται εκεί όπου η μπάλα θα προσγειωθεί.

Ένα από τα πιο απλά στοιχήματα είναι να ποντάρετε στο κόκκινο. Εδώ αν στοιχηματίσετε $ 1 και η μπάλα προσγειώνεται με έναν κόκκινο αριθμό στον τροχό, τότε θα κερδίσετε $ 2. Εάν η μπάλα προσγειωθεί σε ένα μαύρο ή πράσινο χώρο στον τροχό, τότε δεν κερδίζετε τίποτα. Ποια είναι η αναμενόμενη αξία σε ένα στοίχημα, όπως αυτό; Δεδομένου ότι υπάρχουν 18 κόκκινοι χώροι, υπάρχει πιθανότητα κέρδους 18/38, με καθαρό κέρδος $ 1. Υπάρχει 20/38 πιθανότητα να χάσετε το αρχικό σας στοίχημα των $ 1. Η αναμενόμενη αξία αυτού του στοιχήματος στο ρουλέτα είναι 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, που είναι περίπου 5,3 σεντ. Εδώ το σπίτι έχει μια μικρή άκρη (όπως με όλα τα παιχνίδια καζίνο).

Ως ένα άλλο παράδειγμα, σκεφτείτε ένα λαχείο. Αν και τα εκατομμύρια μπορούν να κερδηθούν με την τιμή ενός εισιτηρίου αξίας $ 1, η αναμενόμενη αξία ενός παιχνιδιού λαχειοφόρων αγορών δείχνει πόσο άδικο έχει κατασκευαστεί. Ας υποθέσουμε ότι για $ 1 επιλέγετε έξι αριθμούς από 1 έως 48. Η πιθανότητα επιλογής όλων των έξι σωστών αριθμών είναι 1 / 12,271,512. Αν κερδίσετε 1 εκατομμύριο δολάρια για να πάρεις και τα έξι σωστά, ποια είναι η αναμενόμενη αξία αυτού του λαχείου; Οι πιθανές τιμές είναι - $ 1 για χάσιμο και $ 999.999 για νίκη (και πάλι πρέπει να υπολογίσουμε το κόστος για να παίξουμε και να το αφαιρέσουμε από τα κέρδη). Αυτό μας δίνει μια αναμενόμενη αξία:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Αν λοιπόν έπρεπε να παίζετε ξανά το λαχείο, μακροπρόθεσμα, θα χάσετε περίπου 92 σεντς - σχεδόν όλη την τιμή του εισιτηρίου σας - κάθε φορά που παίζετε.

Όλα τα παραπάνω παραδείγματα εξετάζουν ένα διακριτό τυχαία μεταβλητή. Ωστόσο, είναι δυνατό να οριστεί επίσης η αναμενόμενη τιμή για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή. Το μόνο που πρέπει να κάνουμε σε αυτήν την περίπτωση είναι να αντικαταστήσουμε την άθροιση στη φόρμουλά μας με ένα ενιαίο σύνολο.

Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι η αναμενόμενη τιμή είναι ο μέσος όρος μετά από πολλές δοκιμές ενός τυχαία διαδικασία. Βραχυπρόθεσμα, ο μέσος όρος μιας τυχαίας μεταβλητής μπορεί να διαφέρει σημαντικά από την αναμενόμενη τιμή.