Εάν ξοδεύετε πολύ χρόνο σε όσους ασχολούνται με στατιστική, πολύ σύντομα θα συναντήσετε τη φράση "κατανομή πιθανότητας". Είναι εδώ που μπορούμε πραγματικά να δούμε πόσο οι περιοχές της πιθανότητας και των στατιστικών επικαλύπτονται. Αν και αυτό μπορεί να ακούγεται σαν κάτι τεχνικό, η κατανομή πιθανότητας φράσης είναι πραγματικά ένας τρόπος να μιλάμε για την οργάνωση μιας λίστας πιθανοτήτων. Μια κατανομή πιθανότητας είναι μια συνάρτηση ή ένας κανόνας που εκχωρεί πιθανότητες σε κάθε τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής. Η κατανομή μπορεί σε ορισμένες περιπτώσεις να αναφέρεται. Σε άλλες περιπτώσεις, παρουσιάζεται ως γράφημα.
Παράδειγμα
Ας υποθέσουμε ότι εμείς ρίξτε δύο ζάρια και στη συνέχεια καταγράψτε το άθροισμα των ζαριών. Είναι δυνατά ποσά οπουδήποτε από δύο έως δώδεκα. Κάθε ποσό έχει ιδιαίτερη πιθανότητα εμφάνισης. Μπορούμε απλά να τις αναφέρουμε ως εξής:
- Το άθροισμα των 2 έχει πιθανότητα 1/36
- Το άθροισμα των 3 έχει πιθανότητα 2/36
- Το άθροισμα των 4 έχει πιθανότητα 3/36
- Το άθροισμα των 5 έχει πιθανότητα 4/36
- Το άθροισμα των 6 έχει πιθανότητα 5/36
- Το άθροισμα των 7 έχει πιθανότητα 6/36
- Το άθροισμα των 8 έχει πιθανότητα 5/36
- Το άθροισμα των 9 έχει πιθανότητα 4/36
- Το άθροισμα των 10 έχει πιθανότητα 3/36
- Το άθροισμα των 11 έχει πιθανότητα 2/36
- Το άθροισμα των 12 έχει πιθανότητα 1/36
Αυτός ο κατάλογος είναι μια κατανομή πιθανότητας για το πείραμα πιθανότητας κυλώντας δύο ζάρια. Μπορούμε επίσης να εξετάσουμε τα παραπάνω ως κατανομή πιθανότητας του τυχαία μεταβλητή που ορίζεται από το άθροισμα των δύο ζαριών.
Γραφική παράσταση
Μια κατανομή πιθανοτήτων μπορεί να γραφιστεί και μερικές φορές αυτό μας βοηθά να δείξουμε χαρακτηριστικά της διανομής που δεν ήταν εμφανή από την ανάγνωση της λίστας πιθανοτήτων. Η τυχαία μεταβλητή είναι γραφική παράσταση κατά μήκος του Χ-axis, και η αντίστοιχη πιθανότητα σχεδιάζεται κατά μήκος του y-άξονας. Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, θα έχουμε ένα a ιστόγραμμα. Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή, θα έχουμε το εσωτερικό μιας ομαλής καμπύλης.
Οι κανόνες της πιθανότητας εξακολουθούν να ισχύουν και εκδηλώνονται με λίγους τρόπους. Δεδομένου ότι οι πιθανότητες είναι μεγαλύτερες ή ίσες με το μηδέν, πρέπει να έχει το γράφημα μιας κατανομής πιθανότητας y-οι συντονιστές που δεν είναι αρνητικοί. Ένα άλλο χαρακτηριστικό των πιθανοτήτων, δηλαδή ότι το ένα είναι το μέγιστο που μπορεί να είναι η πιθανότητα ενός γεγονότος, εμφανίζεται με άλλο τρόπο.
Περιοχή = Πιθανότητα
Το γράφημα μιας κατανομής πιθανότητας κατασκευάζεται με τέτοιο τρόπο ώστε οι περιοχές να αντιπροσωπεύουν πιθανότητες. Για μια διακριτή κατανομή πιθανότητας, υπολογίζουμε πραγματικά μόνο τις περιοχές ορθογωνίων. Στο παραπάνω γράφημα, οι περιοχές των τριών ράβδων που αντιστοιχούν σε τέσσερα, πέντε και έξι αντιστοιχούν στην πιθανότητα ότι το άθροισμα των ζαριών μας είναι τέσσερα, πέντε ή έξι. Οι περιοχές όλων των ράβδων ανέρχονται συνολικά σε ένα.
Στο κανονική κανονική κατανομή ή καμπύλη καμπάνας, έχουμε μια παρόμοια κατάσταση. Η περιοχή κάτω από την καμπύλη μεταξύ δύο z οι τιμές αντιστοιχούν στην πιθανότητα η μεταβλητή μας να πέσει μεταξύ αυτών των δύο τιμών. Για παράδειγμα, η περιοχή κάτω από την καμπύλη καμπάνας για -1 z.
Σημαντικές διανομές
Υπάρχουν κυριολεκτικά απείρως πολλές κατανομές πιθανοτήτων. Εμφανίζεται ένας κατάλογος με τις πιο σημαντικές διανομές:
- Διωνυμική κατανομή - Δίνει τον αριθμό των επιτυχιών για μια σειρά ανεξάρτητων πειραμάτων με δύο αποτελέσματα
- Chi-τετραγωνική κατανομή - Για τον προσδιορισμό του τρόπου με τον οποίο οι παρατηρούμενες ποσότητες προσεγγίζουν ένα προτεινόμενο μοντέλο
- F-κατανομή - Χρησιμοποιείται στο ανάλυση της διακύμανσης (ANOVA)
- Κανονική κατανομή - Κάλεσε το καμπύλη καμπάνας και βρίσκεται σε όλες τις στατιστικές.
- Διανομή μαθητών - Για χρήση με μικρά μεγέθη δείγματος από κανονική κατανομή