Παράδειγμα κανονικής προσέγγισης μιας διωνυμικής κατανομής

Η διωνυμική κατανομή περιλαμβάνει α διακεκριμένος τυχαία μεταβλητή. Πιθανότητες σε διωνυμικό περιβάλλον μπορεί να υπολογιστεί με έναν απλό τρόπο χρησιμοποιώντας τον τύπο για έναν διωνυμικό συντελεστή. Αν και θεωρητικά, αυτός είναι ένας εύκολος υπολογισμός, στην πράξη μπορεί να γίνει αρκετά κουραστικό ή ακόμα και υπολογιστικά αδύνατο υπολογίστε τις δυαδικές πιθανότητες. Αυτά τα ζητήματα μπορούν να παραμεριστούν αντίθετα με τη χρήση ενός κανονική κατανομήγια την προσέγγιση μιας διωνυμικής κατανομής. Θα δούμε πώς να το κάνετε αυτό περνώντας από τα βήματα ενός υπολογισμού.

Πρώτον, πρέπει να προσδιορίσουμε αν είναι σκόπιμο να χρησιμοποιήσουμε την κανονική προσέγγιση. Οχι κάθε διωνυμική κατανομή είναι το ίδιο. Μερικοί εκθέτουν αρκετά skewness ότι δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια κανονική προσέγγιση. Για να ελέγξουμε αν πρέπει να χρησιμοποιηθεί η κανονική προσέγγιση, πρέπει να δούμε την τιμή του Π, η οποία είναι η πιθανότητα επιτυχίας, και n, που είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων από μας διωνυμική μεταβλητή.

Προκειμένου να χρησιμοποιήσουμε την κανονική προσέγγιση, εξετάζουμε και τα δύο np και n( 1 - Π ). Εάν και οι δύο αυτοί αριθμοί είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι με 10, τότε δικαιολογείται η χρήση της κανονικής προσέγγισης. Αυτός είναι ένας γενικός κανόνας, και τυπικά τόσο μεγαλύτερες είναι οι τιμές του np και n( 1 - Π ), τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση.

Θα συγκρίνουμε μια ακριβή δυαδική πιθανότητα με αυτή που λαμβάνεται από μια κανονική προσέγγιση. Θεωρούμε την εκτίναξη 20 νομισμάτων και θέλουμε να γνωρίζουμε την πιθανότητα ότι πέντε νομίσματα ή λιγότερα ήταν κεφάλια. Αν Χ είναι ο αριθμός των κεφαλών, τότε θέλουμε να βρούμε την αξία:

Π(Χ = 0) + Ρ (Χ = 1) + Ρ (Χ = 2) + Ρ (Χ = 3) + Ρ (Χ = 4) + Ρ (Χ = 5).

ο χρήση της διωνυμικής φόρμουλας για κάθε μία από αυτές τις έξι πιθανότητες μας δείχνει ότι η πιθανότητα είναι 2.0695%. Θα δούμε τώρα πόσο κοντά η κανονική μας προσέγγιση θα είναι αυτή η τιμή.

Ελέγχοντας τις συνθήκες, βλέπουμε ότι και οι δύο np και np(1 - Π) ισούνται με το 10. Αυτό δείχνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την κανονική προσέγγιση σε αυτή την περίπτωση. Θα χρησιμοποιήσουμε μια κανονική κατανομή με μέση τιμή np = 20 (0.5) = 10 και τυπική απόκλιση της (20 (0.5) (0.5))^0.5 = 2.236.

Για να προσδιορίσετε την πιθανότητα Χ είναι μικρότερη ή ίση με 5 πρέπει να βρούμε το z-score για 5 στην κανονική κατανομή που χρησιμοποιούμε. Ετσι z = (5 – 10)/2.236 = -2.236. Αναζητώντας έναν πίνακα του z-scores βλέπουμε ότι η πιθανότητα ότι z είναι μικρότερο ή ίσο με -2.236 είναι 1.267%. Αυτό διαφέρει από την πραγματική πιθανότητα, αλλά είναι εντός του 0,8%.

Για να βελτιώσουμε τις εκτιμήσεις μας, είναι σκόπιμο να εισαγάγουμε συντελεστή διόρθωσης συνέχειας. Αυτό χρησιμοποιείται επειδή a κανονική κατανομή είναι συνεχής ενώ το διωνυμική κατανομή είναι διακριτή. Για μια δυαδική τυχαία μεταβλητή, ένα ιστόγραμμα πιθανότητας για Χ = 5 θα περιλαμβάνει μια μπάρα που πηγαίνει από 4,5 έως 5,5 και έχει κέντρο στο 5.

Αυτό σημαίνει ότι για το παραπάνω παράδειγμα, η πιθανότητα Χ είναι μικρότερη ή ίση με 5 για μια διωνυμική μεταβλητή πρέπει να εκτιμάται από την πιθανότητα ότι Χ είναι μικρότερη ή ίση με 5,5 για μία συνεχή κανονική μεταβλητή. Ετσι z = (5.5 – 10)/2.236 = -2.013. Η πιθανότητα z