ο διάμεσος ενός συνόλου δεδομένων είναι το ενδιάμεσο σημείο στο οποίο ακριβώς οι μισές από τις τιμές δεδομένων είναι μικρότερες ή ίσες με τη διάμεση τιμή. Με παρόμοιο τρόπο, μπορούμε να σκεφτούμε το διάμεσο του a συνεχήςκατανομή πιθανότητας, αλλά αντί να βρούμε τη μεσαία τιμή σε ένα σύνολο δεδομένων, βρίσκουμε το μέσο της κατανομής με διαφορετικό τρόπο.
Η συνολική έκταση κάτω από μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανοτήτων είναι 1, που αντιπροσωπεύει το 100%, και ως εκ τούτου, το ήμισυ μπορεί να αντιπροσωπεύεται από το ήμισυ ή το 50%. Μια από τις μεγάλες ιδέες των μαθηματικών στατιστικών είναι ότι η πιθανότητα αντιπροσωπεύεται από την περιοχή κάτω από την καμπύλη του συνάρτηση πυκνότητας, η οποία υπολογίζεται από ένα ενιαίο σύνολο και επομένως το μέσο της συνεχούς κατανομής είναι το σημείο ο πραγματικός αριθμός όπου ακριβώς το ήμισυ της περιοχής βρίσκεται στα αριστερά.
Αυτό μπορεί να αναφερθεί πιο σύντομα από το ακόλουθο ακατάλληλο ολοκλήρωμα. Ο διάμεσος της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ με συνάρτηση πυκνότητας φά( Χ) είναι η τιμή M τέτοια ώστε:
0.5=∫Μ−∞φά(Χ)ρεΧ
Μεσαίο για εκθετική διανομή
Τώρα υπολογίζουμε το διάμεσο για την εκθετική κατανομή Exp (A). Μια τυχαία μεταβλητή με αυτή τη διανομή έχει συνάρτηση πυκνότητας φά(Χ) = μι-Χ/ΕΝΑ/ A για Χ κάθε μη αρνητικός πραγματικός αριθμός. Η λειτουργία περιέχει επίσης το μαθηματική σταθερά μι, περίπου ίσο με 2.71828.
Δεδομένου ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανοτήτων είναι μηδέν για οποιαδήποτε αρνητική τιμή Χ, το μόνο που πρέπει να κάνουμε είναι να ενσωματώσουμε τα εξής και να λύσουμε το M:
0.5 = ∫0M f (x) dx
Από το ολοκλήρωμα ∫ μι-Χ/ΕΝΑ/Ενα δΧ = -μι-Χ/ΕΝΑ, το αποτέλεσμα είναι ότι
0,5 = -ε-Μ / Α + 1
Αυτό σημαίνει ότι 0,5 = μι-Μ / Α και αφού πάρουμε το φυσικό λογάριθμο και των δύο πλευρών της εξίσωσης, έχουμε:
ln (1/2) = -Μ / Α
Από 1/2 = 2-1, από τις ιδιότητες των λογαρίθμων που γράφουμε:
- ln2 = -M / A
Ο πολλαπλασιασμός και των δύο πλευρών με το Α μας δίνει το αποτέλεσμα ότι ο μέσος όρος M = A ln2.
Μέση και μέση ανισότητα στις στατιστικές
Μια συνέπεια αυτού του αποτελέσματος θα πρέπει να αναφερθεί: ο μέσος όρος της εκθετικής κατανομής Exp (A) είναι Α, και δεδομένου ότι το ln2 είναι μικρότερο από 1, προκύπτει ότι το προϊόν Aln2 είναι μικρότερο από το Α. Αυτό σημαίνει ότι ο μέσος όρος της εκθετικής κατανομής είναι μικρότερος από τον μέσο όρο.
Αυτό έχει νόημα αν σκεφτούμε το γράφημα της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας. Λόγω της μεγάλης ουράς, αυτή η κατανομή είναι λοξή προς τα δεξιά. Πολλές φορές, όταν η κατανομή είναι λοξή προς τα δεξιά, ο μέσος όρος είναι στα δεξιά του μέσου.
Αυτό σημαίνει ότι όσον αφορά τη στατιστική ανάλυση είναι ότι πολλές φορές μπορούμε να προβλέψουμε ότι ο μέσος και ο διάμεσος δεν συμβαίνουν άμεσα συσχετίζονται δεδομένης της πιθανότητας ότι τα δεδομένα είναι λοξά προς τα δεξιά, τα οποία μπορούν να εκφραστούν ως η απόδειξη μέσης και μέσης ανισότητας γνωστός ως Ανισότητα του Chebyshev.
Για παράδειγμα, εξετάστε ένα σύνολο δεδομένων που υποδηλώνει ότι ένα άτομο λαμβάνει συνολικά 30 επισκέπτες σε 10 ώρες, όπου ο μέσος χρόνος αναμονής για έναν επισκέπτη είναι 20 λεπτά, ενώ το σύνολο δεδομένων μπορεί να παρουσιάσει ότι ο μέσος χρόνος αναμονής θα ήταν κάπου μεταξύ 20 και 30 λεπτών, εάν περισσότεροι από τους μισούς από αυτούς τους επισκέπτες ήρθαν στα πρώτα πέντε ώρες.