Τι είναι το Set Power

Ένα ερώτημα στο Θεωρία συνόλων είναι εάν ένα σετ είναι ένα υποσύνολο άλλου σετ. Υποσύνολο ΕΝΑ είναι ένα σετ που σχηματίζεται χρησιμοποιώντας κάποια από τα στοιχεία από το σετ ΕΝΑ. Προκειμένου για σι να είναι ένα υποσύνολο ΕΝΑ, κάθε στοιχείο του σι πρέπει επίσης να είναι ένα στοιχείο του ΕΝΑ.

Κάθε σύνολο έχει πολλά υποσύνολα. Μερικές φορές είναι επιθυμητό να γνωρίζουμε όλα τα υποσύνολα που είναι δυνατά. Μια κατασκευή γνωστή ως η δύναμη που βοηθά σε αυτή την προσπάθεια. Το σετ εξουσίας της συσκευής ΕΝΑ είναι ένα σύνολο με στοιχεία που είναι επίσης σύνολα. Αυτή η ομάδα ισχύος σχηματίζεται συμπεριλαμβάνοντας όλα τα υποσύνολα ενός δεδομένου συνόλου ΕΝΑ.

Θα εξετάσουμε δύο παραδείγματα σετ ισχύος. Για το πρώτο, αν αρχίσουμε με το σετ ΕΝΑ = {1, 2, 3}, τότε ποια είναι η ισχύς; Συνεχίζουμε με την καταγραφή όλων των υποσυνόλων του ΕΝΑ.

• ο άδειο σετ είναι ένα υποσύνολο του ΕΝΑ. Πράγματι, το Το κενό σύνολο είναι ένα υποσύνολο κάθε σετ. Αυτό είναι το μόνο υποσύνολο χωρίς στοιχεία του ΕΝΑ.
• Τα σύνολα {1}, {2}, {3} είναι τα μόνα υποσύνολα των ΕΝΑ με ένα στοιχείο.
instagram viewer
• Τα σύνολα {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} είναι τα μόνα υποσύνολα των ΕΝΑ με δύο στοιχεία.
• Κάθε σύνολο είναι ένα υποσύνολο από μόνο του. Ετσι ΕΝΑ = {1, 2, 3} είναι ένα υποσύνολο του ΕΝΑ. Αυτό είναι το μόνο υποσύνολο με τρία στοιχεία.

Για το δεύτερο παράδειγμα, θα εξετάσουμε το σύνολο ισχύος σι ={1, 2, 3, 4}. Πολλά από αυτά που είπαμε παραπάνω είναι παρόμοια, αν όχι ταυτόσημα τώρα:

• Το άδειο σετ και σι είναι και τα δύο υποσύνολα.
• Δεδομένου ότι υπάρχουν τέσσερα στοιχεία του σι, υπάρχουν τέσσερα υποσύνολα με ένα στοιχείο: {1}, {2}, {3}, {4}.
• Δεδομένου ότι κάθε υποσύνολο τριών στοιχείων μπορεί να σχηματιστεί με την εξάλειψη ενός στοιχείου από σι και υπάρχουν τέσσερα στοιχεία, υπάρχουν τέσσερα τέτοια υποσύνολα: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}.
• Απομένει να προσδιοριστούν τα υποσύνολα με δύο στοιχεία. Δημιουργούμε ένα υποσύνολο από δύο στοιχεία που επιλέγονται από ένα σύνολο 4. Αυτός είναι ένας συνδυασμός και υπάρχουν ντο (4, 2) = 6 από αυτούς τους συνδυασμούς. Τα υποσύνολα είναι: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.

Υπάρχουν δύο τρόποι για να ρυθμίσετε το σετ ενός σετ ΕΝΑ συμβολίζεται. Ένας τρόπος να το δηλώσετε είναι να χρησιμοποιήσετε το σύμβολο Π( ΕΝΑ), όπου μερικές φορές αυτό το γράμμα Π είναι γραμμένο με στυλιζαρισμένο σενάριο. Μια άλλη σημείωση για το σετ ισχύος ΕΝΑ είναι 2^ΕΝΑ. Αυτός ο συμβολισμός χρησιμοποιείται για τη σύνδεση της μονάδας ισχύος με τον αριθμό των στοιχείων στο σύνολο ισχύος.

Θα εξετάσουμε περαιτέρω αυτή τη συμβολική αναφορά. Αν ΕΝΑ είναι ένα πεπερασμένο σύνολο με n στοιχεία, και στη συνέχεια το σύνολο ισχύος P (A ) θα έχει 2ⁿ στοιχεία. Αν δουλεύουμε με ένα άπειρο σύνολο, τότε δεν είναι χρήσιμο να σκεφτούμε 2ⁿ στοιχεία. Ωστόσο, ένα θεώρημα του Cantor μας λέει ότι η καρδιαλότητα ενός σετ και του σετ δύναμης του δεν μπορεί να είναι η ίδια.

Ήταν μια ανοιχτή ερώτηση στα μαθηματικά αν η καρδιναλικότητα της δέσμης εξουσίας ενός απίστευτα άπειρου συνόλου ταιριάζει με την καρδιαλότητα των πραγματικών. Η επίλυση αυτής της ερώτησης είναι αρκετά τεχνική, αλλά λέει ότι μπορούμε να επιλέξουμε να κάνουμε αυτή την ταύτιση των καρδιναλισμών ή όχι. Και οι δύο οδηγούν σε μια συνεπή μαθηματική θεωρία.

Το θέμα της πιθανότητας βασίζεται στη θεωρία των συνόλων. Αντί να αναφερόμαστε σε καθολικά σύνολα και υποσύνολα, μιλάμε μάλλον δείγματα χώρων και γεγονότα. Μερικές φορές όταν εργαζόμαστε με ένα δείγμα χώρου, θέλουμε να προσδιορίσουμε τα γεγονότα αυτού του δείγματος χώρου. Το σύνολο ισχύος του δείγματος που διαθέτουμε θα μας δώσει όλα τα πιθανά γεγονότα.