Εάν ρωτήσατε κάποιον να ονομάσει την αγαπημένη του μαθηματική σταθερά, πιθανότατα θα έχετε κάποια περίεργη εμφάνιση. Μετά από λίγο κάποιος μπορεί να εθελοντικά ότι το η καλύτερη σταθερά είναι pi. Αλλά αυτή δεν είναι η μόνη σημαντική μαθηματική σταθερά. Ένας δεύτερος κοντά, αν όχι υποψήφιος για το στέμμα της πιο πανταχού παρούσα σταθερά είναι μι. Αυτός ο αριθμός εμφανίζεται στον υπολογισμό, τη θεωρία αριθμών, την πιθανότητα και στατιστική. Θα εξετάσουμε ορισμένα από τα χαρακτηριστικά αυτού του αξιοσημείωτου αριθμού και θα δούμε ποιες συνδέσεις έχει με τις στατιστικές και την πιθανότητα.
Αξία του μι
Όπως και το pi, μι είναι παράλογο πραγματικός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα και ότι η δεκαδική επέκτασή του συνεχίζεται για πάντα χωρίς να επαναλαμβάνεται ο αριθμός των αριθμών που επαναλαμβάνεται συνεχώς. Ο αριθμός μι είναι επίσης υπερβατικό, πράγμα που σημαίνει ότι δεν είναι η ρίζα ενός μη φυσικού πολυώνυμου με λογικούς συντελεστές. Τα πρώτα πενήντα δεκαδικά ψηφία δίνονται από μι = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Ορισμός του μι
Ο αριθμός μι ανακαλύφθηκε από ανθρώπους που ήταν περίεργοι για σύνθετο ενδιαφέρον. Σε αυτή τη μορφή ενδιαφέροντος, ο κύριος υπόχρεος εισπράττει τόκο και, στη συνέχεια, ο εισπραχθέντος τόκος κερδίζει τους τόκους. Παρατηρήθηκε ότι όσο μεγαλύτερη είναι η συχνότητα των περιόδων σύνθεσης ανά έτος, τόσο υψηλότερο είναι το ποσό των τόκων που δημιουργούνται. Για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να εξετάσουμε το ενδιαφέρον που επιδεινώνεται:
- Ετησίως, ή μία φορά το χρόνο
- Σεμινάριο, ή δύο φορές το χρόνο
- Μηνιαία ή 12 φορές το χρόνο
- Καθημερινά ή 365 φορές το χρόνο
Το συνολικό ποσό των αυξήσεων των τόκων για κάθε μια από αυτές τις περιπτώσεις.
Δημιουργήθηκε μια ερώτηση σχετικά με το πόσα χρήματα θα μπορούσαν ενδεχομένως να κερδηθούν σε τόκους. Για να προσπαθήσουμε να κάνουμε ακόμα περισσότερα χρήματα, θα μπορούσαμε, θεωρητικά, να αυξήσουμε τον αριθμό των περιόδων σύνθεσης σε τόσο υψηλό αριθμό που θέλαμε. Το τελικό αποτέλεσμα αυτής της αύξησης είναι ότι θα θεωρούσαμε ότι το ενδιαφέρον επιδεινώνεται συνεχώς.
Ενώ το ενδιαφέρον που δημιουργείται αυξάνεται, το κάνει πολύ αργά. Το συνολικό χρηματικό ποσό στον λογαριασμό σταθεροποιείται και η αξία που σταθεροποιεί είναι μι. Για να το εκφράσουμε χρησιμοποιώντας έναν μαθηματικό τύπο, λέμε ότι το όριο ως n αυξήσεις (1 + 1 /n)n = μι.
Χρήσεις του μι
Ο αριθμός μι εμφανίζεται σε όλα τα μαθηματικά. Εδώ είναι μερικά από τα μέρη που κάνει μια εμφάνιση:
- Είναι η βάση του φυσικού λογαρίθμου. Δεδομένου ότι ο Νάπιερ εφευρέθηκε λογαρίθμους, μι αναφέρεται μερικές φορές ως σταθερά του Napier.
- Στον υπολογισμό, η εκθετική συνάρτηση μιΧ έχει τη μοναδική ιδιότητα να είναι δικό της παράγωγο.
- Εκφράσεις που περιλαμβάνουν μιΧ και μι-Χ συνδυάζονται για να σχηματίσουν τις υπερβολικές ημιτονοειδείς και υπερβολικές συναρτήσεις.
- Χάρη στο έργο του Euler, γνωρίζουμε ότι οι θεμελιώδεις σταθερές των μαθηματικών είναι αλληλένδετες με τον τύπο μιiΠ + 1 = 0, όπου Εγώ είναι ο φανταστικός αριθμός που είναι η τετραγωνική ρίζα του αρνητικού.
- Ο αριθμός μι εμφανίζεται σε διάφορους τύπους σε όλα τα μαθηματικά, ειδικά στον τομέα της αριθμητικής θεωρίας.
Η αξία μι στην Στατιστική
Η σημασία του αριθμού μι δεν περιορίζεται μόνο σε λίγες περιοχές των μαθηματικών. Υπάρχουν επίσης διάφορες χρήσεις του αριθμού μι σε στατιστικές και πιθανότητες. Μερικά από αυτά είναι τα εξής:
- Ο αριθμός μι κάνει μια εμφάνιση στο τύπος για τη λειτουργία γάμμα.
- Οι τύποι για το κανονική κανονική κατανομή συνεπάγεται μι σε αρνητική ισχύ. Αυτός ο τύπος περιλαμβάνει επίσης pi.
- Πολλές άλλες κατανομές συνεπάγονται τη χρήση του αριθμού μι. Για παράδειγμα, οι τύποι για τη διανομή t, την κατανομή γ και την κατανομή chi-square περιέχουν όλα τον αριθμό μι.