Χρησιμοποιώντας Σημαντικά Στοιχεία και Επιστημονική Σημείωση

Όταν κάνετε μια μέτρηση, α επιστήμονας μπορεί να φτάσει μόνο σε ένα ορισμένο επίπεδο ακρίβειας, που περιορίζεται είτε από τα εργαλεία που χρησιμοποιούνται είτε από τη φυσική φύση της κατάστασης. Το πιο προφανές παράδειγμα είναι η μέτρηση της απόστασης.

Εξετάστε τι συμβαίνει κατά τη μέτρηση της απόστασης ενός αντικειμένου που κινείται χρησιμοποιώντας ένα μέτρο ταινιών (σε μετρικές μονάδες). Το μέτρο ταινιών πιθανόν να κατανεμηθεί στις μικρότερες μονάδες χιλιοστών. Επομένως, δεν υπάρχει τρόπος να μετρήσετε με ακρίβεια μεγαλύτερη από ένα χιλιοστό. Αν λοιπόν το αντικείμενο μετακινήσει 57.215493 χιλιοστά, μπορούμε μόνο να πούμε με βεβαιότητα ότι κινήθηκε 57 χιλιοστά (ή 5.7 εκατοστά ή 0.057 μέτρα, ανάλογα με την προτίμηση σε αυτή την κατάσταση).

Γενικά, αυτό το επίπεδο στρογγυλοποίησης είναι καλό. Η ακριβής μετακίνηση ενός αντικειμένου κανονικού μεγέθους σε ένα χιλιοστόμετρο θα ήταν ένα εντυπωσιακό επίτευγμα, στην πραγματικότητα. Φανταστείτε ότι προσπαθείτε να μετρήσετε την κίνηση ενός αυτοκινήτου στο χιλιοστό και θα δείτε ότι, γενικά, αυτό δεν είναι απαραίτητο. Στις περιπτώσεις όπου αυτή η ακρίβεια είναι απαραίτητη, θα χρησιμοποιείτε εργαλεία που είναι πολύ πιο εξελιγμένα από ένα μέτρο ταινιών.

Ο αριθμός των σημαντικών αριθμών σε μία μέτρηση ονομάζεται ο αριθμός των παραδειγματικές φυγούρες του αριθμού. Στο προηγούμενο παράδειγμα, η απάντηση των 57 χιλιοστομέτρων θα μας έδινε 2 σημαντικά στοιχεία στη μέτρησή μας.

Σκεφτείτε τον αριθμό 5.200.

Αν δεν αναφέρεται διαφορετικά, είναι γενικά η συνήθης πρακτική να υποθέτουμε ότι μόνο τα δύο μη μηδενικά ψηφία είναι σημαντικά. Με άλλα λόγια, υποτίθεται ότι αυτός ο αριθμός ήταν στρογγυλεμένες στα πλησιέστερα εκατό.

Ωστόσο, αν ο αριθμός είναι γραμμένος σε 5.200,0, τότε θα υπάρχουν πέντε σημαντικοί αριθμοί. Το δεκαδικό σημείο και μετά το μηδέν προστίθεται μόνο αν το μέτρηση είναι ακριβής σε αυτό το επίπεδο.

Ομοίως, ο αριθμός 2.30 θα έχει τρεις σημαντικούς αριθμούς, διότι το μηδέν στο τέλος είναι μια ένδειξη ότι ο επιστήμονας που έκανε τη μέτρηση το έκανε σε αυτό το επίπεδο ακρίβειας.

Ορισμένα εγχειρίδια έχουν επίσης εισαγάγει τη σύμβαση ότι ένα δεκαδικό σημείο στο τέλος ενός ολόκληρου αριθμού υποδεικνύει και σημαντικά αριθμητικά στοιχεία. Έτσι 800. θα έχει τρία σημαντικά στοιχεία ενώ 800 θα έχουν μόνο ένα σημαντικό αριθμό. Και πάλι, αυτό είναι κάπως μεταβλητό ανάλογα με το βιβλίο.

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα διαφορετικού αριθμού σημαντικών αριθμών, που βοηθούν στην εδραίωση της έννοιας:

Ένας σημαντικός αριθμός
4
900
0.00002
Δύο σημαντικοί αριθμοί
3.7
0.0059
68,000
5.0
Τρεις σημαντικοί αριθμοί
9.64
0.00360
99,900
8.00
900. (σε μερικά εγχειρίδια)

Τα επιστημονικά στοιχεία παρέχουν ορισμένους διαφορετικούς κανόνες για τα μαθηματικά από αυτά που εισάγονται στην τάξη των μαθηματικών. Το κλειδί στη χρήση σημαντικών αριθμών είναι να είστε σίγουροι ότι διατηρείτε το ίδιο επίπεδο ακρίβειας σε όλο τον υπολογισμό. Στα μαθηματικά, κρατάτε όλους τους αριθμούς από το αποτέλεσμά σας, ενώ στην επιστημονική εργασία συχνά στρογγυλεύεστε βάσει των σημαντικών αριθμών.

Όταν προσθέτετε ή αφαιρείτε επιστημονικά δεδομένα, είναι μόνο το τελευταίο ψηφίο (το ψηφίο το πιο απομακρυσμένο προς τα δεξιά) που έχει σημασία. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι προσθέτουμε τρεις διαφορετικές αποστάσεις:

5.324 + 6.8459834 + 3.1

Ο πρώτος όρος στο πρόβλημα προσθήκης έχει τέσσερα σημαντικά στοιχεία, ο δεύτερος έχει οκτώ και ο τρίτος έχει μόνο δύο. Η ακρίβεια, στην περίπτωση αυτή, καθορίζεται από το μικρότερο δεκαδικό σημείο. Έτσι θα εκτελέσετε τον υπολογισμό σας, αλλά αντί του 15.2699834 το αποτέλεσμα θα είναι 15.3, επειδή θα στρογγυλεύσετε στο δέκατο (το πρώτο μέρος μετά το δεκαδικό σημείο), επειδή ενώ δύο τα δικα σου Μετρήσεις είναι πιο ακριβή το τρίτο δεν μπορεί να σας πει τίποτα περισσότερο από το δέκατο μέρος, οπότε το αποτέλεσμα αυτού του προβλήματος προσθήκης μπορεί να είναι μόνο αυτό ακριβές επίσης.

Σημειώστε ότι η τελική απάντησή σας, σε αυτή την περίπτωση, έχει τρεις σημαντικές τιμές, ενώ κανένας των αρχικών σας αριθμών. Αυτό μπορεί να προκαλέσει σύγχυση στους αρχάριους και είναι σημαντικό να δώσουμε προσοχή στην ιδιότητα προσθήκης και αφαίρεσης.

Κατά τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση επιστημονικών δεδομένων, από την άλλη πλευρά, ο αριθμός των σημαντικών αριθμών έχει σημασία. Ο πολλαπλασιασμός των σημαντικών αριθμών θα έχει πάντα ως αποτέλεσμα μια λύση που έχει τις ίδιες σημαντικές τιμές με τα μικρότερα σημαντικά στοιχεία που ξεκινήσατε. Έτσι, για παράδειγμα:

5.638 χ 3.1

Ο πρώτος παράγοντας έχει τέσσερις σημαντικούς αριθμούς και ο δεύτερος παράγοντας έχει δύο σημαντικούς αριθμούς. Επομένως, η λύση σας θα καταλήξει σε δύο σημαντικούς αριθμούς. Στην περίπτωση αυτή, θα είναι 17 αντί για 17.4778. Εκτελείτε τον υπολογισμό έπειτα γύρω από τη λύση σας στο σωστό αριθμό σημαντικών αριθμών. Η επιπλέον ακρίβεια στον πολλαπλασιασμό δεν θα βλάψει, απλά δεν θέλετε να δώσετε ψευδή επίπεδο ακρίβειας στην τελική λύση.

Η φυσική ασχολείται με τις σφαίρες του χώρου από το μέγεθος λιγότερο από ένα πρωτόνιο μέχρι το μέγεθος του σύμπαντος. Ως εκ τούτου, καταλήγετε να ασχοληθείτε με ορισμένους πολύ μεγάλους και πολύ μικρούς αριθμούς. Γενικά, μόνο οι πρώτοι μερικοί από αυτούς τους αριθμούς είναι σημαντικοί. Κανένας δεν πρόκειται να (ή μπορεί να) μετρήσει το πλάτος του σύμπαντος στο πλησιέστερο χιλιοστό.

Σημείωση

Προκειμένου να χρησιμοποιηθούν εύκολα αυτοί οι αριθμοί, χρησιμοποιούν οι επιστήμονες επιστημονική σημειογραφία. Τα σημαντικά αριθμητικά στοιχεία παρατίθενται και στη συνέχεια πολλαπλασιάζονται επί δέκα στην απαιτούμενη ισχύ. Η ταχύτητα του φωτός γράφεται ως εξής: [blackquote shade = όχι] 2.997925 x 108 m / s

Υπάρχουν 7 σημαντικοί αριθμοί και αυτό είναι πολύ καλύτερο από το γράψιμο 299.792.500 m / s.

Σημείωση

Αυτός ο συμβολισμός είναι πολύ βολικός για τον πολλαπλασιασμό. Ακολουθείτε τους κανόνες που περιγράφηκαν προηγουμένως για τον πολλαπλασιασμό των σημαντικών αριθμών, κρατώντας το μικρότερο αριθμός σημαντικών αριθμών και στη συνέχεια πολλαπλασιάζετε τα μεγέθη, τα οποία ακολουθούν τον κανόνα του προσθέτου εκθέτες. Το παρακάτω παράδειγμα θα σας βοηθήσει να το απεικονίσετε:

2,3 χ 103 χ 3,19 χ 104 = 7,3 χ 107

Το προϊόν έχει μόνο δύο σημαντικούς αριθμούς και η τάξη μεγέθους είναι 107 επειδή 103 x 104 = 107

Η προσθήκη επιστημονικής αναφοράς μπορεί να είναι πολύ εύκολη ή πολύ δύσκολη, ανάλογα με την κατάσταση. Εάν οι όροι είναι της ίδιας τάξης μεγέθους (δηλαδή 4.3005 x 105 και 13.5 x 105), τότε ακολουθείτε τους κανόνες προσθήκης που συζητήθηκαν νωρίτερα, διατηρώντας την υψηλότερη τιμή ως τη θέση στρογγυλοποίησης και διατηρώντας το μέγεθος το ίδιο, όπως στο παρακάτω παράδειγμα:

4.3005 χ 105 + 13.5 χ 105 = 17.8 χ 105

Εάν η τάξη μεγέθους είναι διαφορετική, ωστόσο, πρέπει να εργαστείτε λίγο για να πάρετε τα μεγέθη τα ίδια, όπως στο το ακόλουθο παράδειγμα, όπου ένας όρος έχει μέγεθος 105 και ο άλλος όρος είναι στο μέγεθος του 106:

4.8 χ 105 + 9.2 χ 106 = 4.8 χ 105 + 92 χ 105 = 97 χ 105
ή
4.8 χ 105 + 9.2 χ 106 = 0.48 χ 106 + 9.2 χ 106 = 9.7 χ 106

Και οι δύο λύσεις είναι οι ίδιες, καταλήγοντας σε 9.700.000 ως απάντηση.

Ομοίως, πολύ μικρός αριθμός γράφεται συχνά και σε επιστημονικές σημειώσεις, αν και με αρνητικό εκθέτη για το μέγεθος αντί για το θετικό εκθέτη. Η μάζα ενός ηλεκτρονίου είναι:

9.10939 χ 10-31 χλγρ

Αυτό θα ήταν μηδέν, ακολουθούμενο από ένα δεκαδικό σημείο, ακολουθούμενο από 30 μηδενικά, έπειτα από τη σειρά 6 σημαντικών αριθμών. Κανείς δεν θέλει να γράψει αυτό έξω, έτσι επιστημονική σημειογραφία είναι φίλος μας. Όλοι οι κανόνες που περιγράφονται παραπάνω είναι ίδιοι, ανεξάρτητα από το αν ο εκθέτης είναι θετικός ή αρνητικός.

Σημαντικά στοιχεία είναι ένα βασικό μέσο που οι επιστήμονες χρησιμοποιούν για να παρέχουν ένα μέτρο ακρίβειας στους αριθμούς που χρησιμοποιούν. Ωστόσο, η διαδικασία στρογγυλοποίησης εξακολουθεί να εισάγει ένα μέτρο σφάλματος στους αριθμούς, ωστόσο, και σε πολύ υψηλού επιπέδου υπολογισμούς υπάρχουν και άλλες στατιστικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται. Για σχεδόν όλη τη φυσική που θα γίνει στις σχολικές τάξεις του γυμνασίου και του κολλεγίου, Ωστόσο, η σωστή χρήση σημαντικών αριθμών θα είναι επαρκής για τη διατήρηση του απαιτούμενου επιπέδου ακρίβεια.

Σημαντικοί αριθμοί μπορούν να αποτελέσουν σημαντικό εμπόδιο όταν εισάγονται για πρώτη φορά στους φοιτητές επειδή μεταβάλλουν ορισμένους από τους βασικούς μαθηματικούς κανόνες που έχουν διδαχθεί για χρόνια. Με σημαντικούς αριθμούς, για παράδειγμα 4 x 12 = 50.

Ομοίως, η εισαγωγή επιστημονικής σημειογραφίας σε μαθητές που μπορεί να μην είναι πλήρως άνετοι με εκθέτες ή εκθετικούς κανόνες μπορεί επίσης να δημιουργήσει προβλήματα. Λάβετε υπόψη ότι αυτά είναι εργαλεία που όλοι όσοι σπουδάζουν την επιστήμη έπρεπε να μάθουν κάποια στιγμή και οι κανόνες είναι πραγματικά πολύ βασικοί. Το πρόβλημα είναι σχεδόν εξ ολοκλήρου να θυμόμαστε τον κανόνα που εφαρμόζεται σε εκείνη την εποχή. Πότε προσθέτω εκθέτες και πότε τα αφαιρώ; Πότε μετακινώ το δεκαδικό σημείο στα αριστερά και πότε δεξιά; Εάν συνεχίσετε να ασκείτε αυτά τα καθήκοντα, θα τα βελτιώσετε μέχρι να γίνουν δεύτερη φύση.

Τέλος, η διατήρηση των κατάλληλων μονάδων μπορεί να είναι δύσκολη. Θυμηθείτε ότι δεν μπορείτε να προσθέσετε άμεσα εκατοστά και μέτρα, για παράδειγμα, αλλά πρώτα πρέπει να τα μετατρέψουμε στην ίδια κλίμακα. Αυτό είναι ένα συνηθισμένο λάθος για τους αρχαρίους, αλλά, όπως και τα υπόλοιπα, είναι κάτι που μπορεί εύκολα να ξεπεραστεί με την επιβράδυνση, την προσοχή και τη σκέψη για το τι κάνεις.