Μονοδιάστατη κινηματική: κίνηση σε ευθεία γραμμή

Πριν ξεκινήσετε ένα πρόβλημα στην κινηματική, πρέπει να ρυθμίσετε το σύστημα συντεταγμένων σας. Στη μονοδιάστατη κινηματική, αυτό είναι απλά ένα Χ-αξία και η κατεύθυνση της κίνησης είναι συνήθως η θετική -Χ κατεύθυνση.

Αν και η μετατόπιση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι όλα διανυσματικών ποσοτήτων, στην μονοδιάστατη περίπτωση μπορούν όλοι να αντιμετωπίζονται ως κλιμακωτές ποσότητες με θετικές ή αρνητικές τιμές για να δείξουν την κατεύθυνσή τους. Οι θετικές και αρνητικές τιμές αυτών των ποσοτήτων καθορίζονται από την επιλογή του τρόπου με τον οποίο ευθυγραμμίζετε το σύστημα συντεταγμένων.

Ταχύτητα αντιπροσωπεύει το ρυθμό μεταβολής της μετατόπισης για ένα δεδομένο χρονικό διάστημα.

Η μετατόπιση σε μία διάσταση αντιπροσωπεύεται γενικά σε σχέση με ένα σημείο εκκίνησης του Χ₁ και Χ₂. Ο χρόνος που το συγκεκριμένο αντικείμενο βρίσκεται σε κάθε σημείο υποδηλώνεται ως t₁ και t₂ (πάντα υποθέτοντας ότι t₂ είναι αργότερα από t₁, δεδομένου ότι ο χρόνος προχωρά μόνο ένας τρόπος). Η μεταβολή μιας ποσότητας από ένα σημείο σε άλλο γενικά υποδεικνύεται με το ελληνικό γράμμα δέλτα, Δ, με τη μορφή:

Χρησιμοποιώντας αυτές τις σημειώσεις, είναι δυνατό να προσδιοριστεί το μέση ταχύτητα (v_av) με τον ακόλουθο τρόπο:

v_av = (Χ₂ - Χ₁) / (t₂ - t₁) = ΔΧ / Δt

Αν εφαρμόζετε ένα όριο ως Δt προσεγγίσεις 0, αποκτάτε ένα στιγμιαία ταχύτητα σε ένα συγκεκριμένο σημείο της διαδρομής. Ένα τέτοιο όριο στον υπολογισμό είναι το παράγωγο του Χ σε σχέση με t, ή dx/dt.

Επιτάχυνση αντιπροσωπεύει το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας με την πάροδο του χρόνου. Χρησιμοποιώντας την ορολογία που παρουσιάστηκε νωρίτερα, βλέπουμε ότι το μέση επιτάχυνση (ένα_av) είναι:

ένα_av = (v₂ - v₁) / (t₂ - t₁) = ΔΧ / Δt

Και πάλι, μπορούμε να εφαρμόσουμε ένα όριο ως Δt προσεγγίζει το 0 για να αποκτήσει ένα στιγμιαία επιτάχυνση σε ένα συγκεκριμένο σημείο της διαδρομής. Η αντιπροσώπευση λογισμού είναι το παράγωγο του v σε σχέση με t, ή δι/dt. Ομοίως, από τότε v είναι το παράγωγο του Χ, η στιγμιαία επιτάχυνση είναι το δεύτερο παράγωγο του Χ σε σχέση με t, ή ρε²Χ/dt².

Σε αρκετές περιπτώσεις, όπως το βαρυτικό πεδίο της Γης, η επιτάχυνση μπορεί να είναι σταθερή - με άλλα λόγια η ταχύτητα αλλάζει με τον ίδιο ρυθμό σε όλη την κίνηση.

Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη δουλειά μας, ορίστε την ώρα 0 και την ώρα λήξης ως t (εικόνα ξεκινώντας ένα χρονόμετρο στο 0 και τερματίζοντάς το τη στιγμή του ενδιαφέροντος). Η ταχύτητα στην ώρα 0 είναι v₀ και την ώρα t είναι v, αποδίδοντας τις ακόλουθες δύο εξισώσεις:

ένα = (v - v₀)/(t - 0)

v = v₀ + στο

Εφαρμογή των προηγούμενων εξισώσεων για v_av Για Χ₀ στις ώρες 0 και Χ κατά το χρόνο t, και εφαρμόζοντας κάποιους χειρισμούς (που δεν θα αποδείξω εδώ), παίρνουμε:

Χ = Χ₀ + v₀t + 0.5στο²

v² = v₀² + 2ένα(Χ - Χ₀)

Χ - Χ₀ = (v₀ + v)t / 2

Οι παραπάνω εξισώσεις κίνησης με σταθερή επιτάχυνση μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση όποιος κινηματικό πρόβλημα που συνεπάγεται την κίνηση ενός σωματιδίου σε μια ευθεία γραμμή με συνεχή επιτάχυνση.