Υπάρχουν πολλές μαθηματικές ιδιότητες που χρησιμοποιούνται στατιστική και πιθανότητα; δύο από αυτές, οι συνδυαστικές και συσχετιστικές ιδιότητες, γενικά συνδέονται με τη βασική αριθμητική της ακεραίων, σκέψεις, και πραγματικούς αριθμούς, αν και εμφανίζονται και σε πιο εξελιγμένα μαθηματικά.
Αυτές οι ιδιότητες-το commutative και το associative-είναι πολύ παρόμοιες και μπορούν εύκολα να μπερδευτούν. Για το λόγο αυτό, είναι σημαντικό να κατανοήσουμε τη διαφορά μεταξύ των δύο.
Η μεταβλητή ιδιότητα αφορά τη σειρά ορισμένων μαθηματικών πράξεων. Για μια δυαδική λειτουργία - μια που περιλαμβάνει μόνο δύο στοιχεία - αυτό μπορεί να αποδειχθεί από την εξίσωση a + b = b + a. Η λειτουργία είναι μεταβλητή επειδή η σειρά των στοιχείων δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα της λειτουργίας. Η συνεταιριστική ιδιότητα, από την άλλη πλευρά, αφορά την ομαδοποίηση στοιχείων σε μια λειτουργία. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί από την εξίσωση (a + b) + c = a + (b + c). Η ομαδοποίηση των στοιχείων, όπως υποδεικνύεται από τις παρενθέσεις, δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα της εξίσωσης. Σημειώστε ότι όταν χρησιμοποιείται η μεταβλητή ιδιότητα, τα στοιχεία σε μια εξίσωση είναι
αναδιάταξη. Όταν χρησιμοποιείται η συνειρμική ιδιότητα, τα στοιχεία είναι απλά ανασυγκροτήθηκε.Επαναστατική ιδιότητα
Με απλά λόγια, η μεταβλητή ιδιότητα δηλώνει ότι οι παράγοντες μιας εξίσωσης μπορούν να αναδιαμορφωθούν ελεύθερα χωρίς να επηρεαστεί το αποτέλεσμα της εξίσωσης. Επομένως, η μεταβλητή ιδιοκτησία αφορά την παραγγελία πράξεων, συμπεριλαμβανομένης της προσθήκης και πολλαπλασιασμού πραγματικών αριθμών, ακεραίων και λογικών αριθμών.
Για παράδειγμα, οι αριθμοί 2, 3 και 5 μπορούν να προστεθούν μαζί με οποιαδήποτε σειρά χωρίς να επηρεαστεί το τελικό αποτέλεσμα:
2 + 3 + 5 = 10
3 + 2 + 5 = 10
5 + 3 + 2 = 10
Οι αριθμοί μπορούν επίσης να πολλαπλασιάζονται με οποιαδήποτε σειρά χωρίς να επηρεάζεται το τελικό αποτέλεσμα:
2 x 3 χ 5 = 30
3 x 2 χ 5 = 30
5 x 3 χ 2 = 30
Η αφαίρεση και η διαίρεση, ωστόσο, δεν είναι πράξεις που μπορούν να μεταβληθούν επειδή η σειρά εργασιών είναι σημαντική. Οι τρεις παραπάνω αριθμοί δεν μπορώ, για παράδειγμα, να αφαιρεθεί με οποιαδήποτε σειρά χωρίς να επηρεαστεί η τελική τιμή:
2 - 3 - 5 = -6
3 - 5 - 2 = -4
5 - 3 - 2 = 0
Ως αποτέλεσμα, η μεταβλητή ιδιότητα μπορεί να εκφράζεται μέσω των εξισώσεων a + b = b + a και a x b = b x a. Ανεξάρτητα από τη σειρά των τιμών σε αυτές τις εξισώσεις, τα αποτελέσματα θα είναι πάντα τα ίδια.
Συνεταιριστική ιδιότητα
Η συνειρμική ιδιότητα αναφέρει ότι η ομαδοποίηση των παραγόντων σε μια πράξη μπορεί να αλλάξει χωρίς να επηρεαστεί το αποτέλεσμα της εξίσωσης. Αυτό μπορεί να εκφραστεί μέσω της εξίσωσης a + (b + c) = (a + b) + c. Ανεξάρτητα από το ποιο ζεύγος τιμών στην εξίσωση προστίθεται πρώτα, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο.
Για παράδειγμα, πάρτε την εξίσωση 2 + 3 + 5. Ανεξάρτητα από το πώς ομαδοποιούνται οι τιμές, το αποτέλεσμα της εξίσωσης θα είναι 10:
(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10
2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10
Όπως συμβαίνει με την μεταβλητή ιδιότητα, παραδείγματα λειτουργιών που είναι συνεταιρικές περιλαμβάνουν την προσθήκη και τον πολλαπλασιασμό πραγματικών αριθμών, ακέραιων αριθμών και λογικών αριθμών. Ωστόσο, σε αντίθεση με την μεταβλητή ιδιότητα, η συνειρμική ιδιότητα μπορεί επίσης να εφαρμοστεί στον πολλαπλασιασμό της μήτρας και στη σύνθεση της συνάρτησης.
Όπως οι εξισώσεις μεταβλητής ιδιοτήτων, οι εξισώσεις συσχετιστικής ιδιοκτησίας δεν μπορούν να περιέχουν την αφαίρεση πραγματικών αριθμών. Πάρτε, για παράδειγμα, το αριθμητικό πρόβλημα (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1; αν αλλάξουμε την ομαδοποίηση των παρενθέσεων, έχουμε 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5, που αλλάζει το τελικό αποτέλεσμα της εξίσωσης.
Ποιά είναι η διαφορά?
Μπορούμε να πούμε τη διαφορά μεταξύ της συνεταιριστικής και της μεταβλητικής ιδιοκτησίας θέτοντας την ερώτηση: "Αλλάζουμε τη σειρά του τα στοιχεία, ή αλλάζουμε την ομαδοποίηση των στοιχείων; " Εάν τα στοιχεία αναδιαρθρώνονται, τότε η μεταβλητή ιδιότητα ισχύει. Αν τα στοιχεία συγκεντρωθούν μόνο, ισχύει η συνειρμική ιδιότητα.
Ωστόσο, σημειώστε ότι η παρουσία παρενθέσεων μόνο δεν σημαίνει απαραίτητα ότι ισχύει η συνεταιριστική ιδιοκτησία. Για παράδειγμα:
(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)
Αυτή η εξίσωση είναι ένα παράδειγμα της μεταβλητής ιδιότητας προσθήκης πραγματικών αριθμών. Αν δίνουμε όμως ιδιαίτερη προσοχή στην εξίσωση, βλέπουμε ότι άλλαξε μόνο η σειρά των στοιχείων, όχι η ομαδοποίηση. Για να εφαρμοστεί η συνεταιριστική ιδιοκτησία, θα πρέπει επίσης να αναδιατάξουμε την ομαδοποίηση των στοιχείων:
(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3