Λειτουργίες δημιουργίας ροπής τυχαίων μεταβλητών

Ένας τρόπος για τον υπολογισμό του μέσου όρου και της διακύμανσης του a κατανομή πιθανότητας είναι να βρεις το αναμενόμενες τιμές των τυχαίων μεταβλητών Χ και Χ². Χρησιμοποιούμε τη σημείωση μι(Χ) και μι(Χ²) για να υποδηλώσει αυτές τις αναμενόμενες τιμές. Γενικά, είναι δύσκολο να υπολογιστεί μι(Χ) και μι(Χ²) άμεσα. Για να ξεπεράσουμε αυτή τη δυσκολία, χρησιμοποιούμε κάποια πιο προηγμένη μαθηματική θεωρία και λογισμό. Το τελικό αποτέλεσμα είναι κάτι που κάνει τους υπολογισμούς μας ευκολότερους.

Η στρατηγική για αυτό το πρόβλημα είναι να ορίσουμε μια νέα συνάρτηση μιας νέας μεταβλητής t που ονομάζεται λειτουργία δημιουργίας στιγμής. Αυτή η λειτουργία μας επιτρέπει να υπολογίζουμε στιγμές απλά λαμβάνοντας παράγωγα.

Προτού καθορίσουμε τη λειτουργία δημιουργίας στιγμής, ξεκινάμε καθορίζοντας το στάδιο με συμβολισμό και ορισμούς. Αφήσαμε Χ να είναι α διακριτή τυχαία μεταβλητή. Αυτή η τυχαία μεταβλητή έχει τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας φά(Χ). Ο χώρος δειγμάτων με τον οποίο εργαζόμαστε θα σημειώνεται με μικρό.

Αντί να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή του Χ, θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή μιας εκθετικής συνάρτησης που σχετίζεται με Χ. Εάν υπάρχει θετικό πραγματικός αριθμόςr έτσι ώστε μι(μι^tX) υπάρχει και είναι πεπερασμένο για όλους t στο διάστημα [-r, r], τότε μπορούμε να ορίσουμε τη λειτουργία δημιουργίας στιγμής του Χ.

Η λειτουργία δημιουργίας στιγμής είναι η αναμενόμενη τιμή της παραπάνω εκθετικής συνάρτησης. Με άλλα λόγια, λέμε ότι η στιγμή που δημιουργεί τη λειτουργία του Χ δίνεται από:

Μ(t) = μι(μι^tX)

Αυτή η αναμενόμενη τιμή είναι ο τύπος Σ μι^txφά (Χ), όπου η άθροιση λαμβάνεται σε όλα Χ στο δείγμα χώρουμικρό. Αυτό μπορεί να είναι ένα πεπερασμένο ή άπειρο άθροισμα, ανάλογα με το χώρο δείγματος που χρησιμοποιείται.

Η λειτουργία δημιουργίας στιγμής έχει πολλά χαρακτηριστικά που συνδέονται με άλλα θέματα στην πιθανότητα και τις μαθηματικές στατιστικές. Μερικά από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά του περιλαμβάνουν:

• Ο συντελεστής του μι^tb είναι η πιθανότητα Χ = σι.
• Οι λειτουργίες δημιουργίας στιγμών έχουν ιδιότητα μοναδικότητας. Αν οι λειτουργίες δημιουργίας στιγμής για δύο τυχαίες μεταβλητές ταιριάζουν μεταξύ τους, τότε οι λειτουργίες μάζας πιθανότητας πρέπει να είναι οι ίδιες. Με άλλα λόγια, οι τυχαίες μεταβλητές περιγράφουν την ίδια κατανομή πιθανότητας.
• Οι λειτουργίες δημιουργίας στιγμών μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των ροπών Χ.

Το τελευταίο στοιχείο της παραπάνω λίστας εξηγεί το όνομα της στιγμής που παράγει λειτουργίες και επίσης τη χρησιμότητά τους. Ορισμένα προηγμένα μαθηματικά λένε ότι υπό τις συνθήκες που έχουμε ορίσει, το παράγωγο οποιασδήποτε τάξης της λειτουργίας Μ (t) υπάρχει για το πότε t = 0. Επιπλέον, σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά της αθροίσεως και της διαφοροποίησης ως προς t για να λάβετε τους ακόλουθους τύπους (όλα τα αθροίσματα είναι πάνω από τις τιμές του Χ στο χώρο του δείγματος μικρό):

• Μ’(t) = Σ xe^txφά (Χ)
• Μ’’(t) = Σ Χ²μι^txφά (Χ)
• Μ’’’(t) = Σ Χ³μι^txφά (Χ)
• Μ^(η)’(t) = Σ Χⁿμι^txφά (Χ)

Αν θέσουμε t = 0 στους παραπάνω τύπους, στη συνέχεια το μι^tx ο όρος γίνεται μι⁰ = 1. Έτσι λαμβάνουμε τύπους για τις στιγμές της τυχαίας μεταβλητής Χ:

• Μ’(0) = μι(Χ)
• Μ’’(0) = μι(Χ²)
• Μ’’’(0) = μι(Χ³)
• Μ⁽ⁿ⁾(0) = μι(Χⁿ)

Αυτό σημαίνει ότι αν η συνάρτηση δημιουργίας στιγμής υπάρχει για μια συγκεκριμένη τυχαία μεταβλητή, τότε μπορούμε να βρούμε τον μέσο όρο της και τη διακύμανσή της από πλευράς παραγώγων της συνάρτησης δημιουργίας στιγμής. Ο μέσος όρος είναι Μ'(0), και η διακύμανση είναι Μ’’(0) – [Μ’(0)]².

Εν ολίγοις, έπρεπε να βρεθούμε σε αρκετά αρκετά δυναμικά μαθηματικά, έτσι κάποια πράγματα ήταν γυαλισμένα. Αν και πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον υπολογισμό για τα παραπάνω, στο τέλος, το μαθηματικό μας έργο είναι συνήθως πιο εύκολο από το να υπολογίσουμε τις στιγμές απευθείας από τον ορισμό.