Πιθανότητα Ένωσης 3 ή περισσότερων σετ

Όταν υπάρχουν δύο γεγονότα αμοιβαία αποκλειστικά, την πιθανότητα του ένωση μπορεί να υπολογιστεί με το κανόνα προσθήκης. Γνωρίζουμε ότι για την κύλιση ενός πεθαμένου, κυλιόμενο αριθμό μεγαλύτερο από τέσσερα ή έναν αριθμό λιγότερο από τρεις είναι αμοιβαία αποκλειστικά γεγονότα, με τίποτα από κοινού. Επομένως, για να βρούμε την πιθανότητα αυτού του γεγονότος, προσθέτουμε απλά την πιθανότητα να κυλήσουμε έναν αριθμό μεγαλύτερο από τέσσερα στην πιθανότητα να κυλήσουμε έναν αριθμό μικρότερο από τρεις. Στα σύμβολα, έχουμε τα εξής, όπου η πρωτεύουσα Π σημαίνει "πιθανότητα":

Π(μεγαλύτερη από τέσσερα ή λιγότερα από τρία) = Π(άνω των τεσσάρων) + Π(λιγότερο από τρία) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Εάν τα γεγονότα είναι δεν αμοιβαία αποκλειστικά, τότε δεν προσθέτουμε απλώς τις πιθανότητες των γεγονότων μαζί, αλλά πρέπει να αφαιρέσουμε την πιθανότητα σημείο τομής των γεγονότων. Δεδομένων των γεγονότων ΕΝΑ και σι:

Π(ΕΝΑ U σι) = Π(ΕΝΑ) + Π(σι) - Π(ΕΝΑ ∩ σι).

Εδώ λαμβάνουμε υπόψη τη δυνατότητα διπλής μέτρησης εκείνων των στοιχείων που βρίσκονται και στα δύο

Το ερώτημα που προκύπτει από αυτό είναι: "Γιατί να σταματήσετε με δύο σύνολα; Ποια είναι η πιθανότητα της ένωσης περισσότερων από δύο σετ; "

Θα επεκτείνουμε τις παραπάνω ιδέες στην κατάσταση όπου έχουμε τρία σύνολα, τα οποία θα υποδείξουμε ΕΝΑ, σι, και ντο. Δεν θα υποθέσουμε τίποτα περισσότερο από αυτό, έτσι υπάρχει η πιθανότητα τα σύνολα να έχουν μια μη κενή διασταύρωση. Ο στόχος θα είναι ο υπολογισμός του πιθανότητα της ένωσης αυτών των τριών συνόλων, ή Π (ΕΝΑ U σι U ντο).

Η παραπάνω συζήτηση για δύο σύνολα εξακολουθεί να ισχύει. Μπορούμε να προσθέσουμε μαζί τις πιθανότητες των μεμονωμένων συνόλων ΕΝΑ, σι, και ντο, αλλά κάνοντας αυτό έχουμε μετρήσει μερικά στοιχεία.

Τα στοιχεία στη διασταύρωση του ΕΝΑ και σι έχουν μετρηθεί διπλά όπως πριν, αλλά τώρα υπάρχουν και άλλα στοιχεία που δυνητικά υπολογίστηκαν δύο φορές. Τα στοιχεία στη διασταύρωση του ΕΝΑ και ντο και στη διασταύρωση του σι και ντο έχουν τώρα επίσης υπολογιστεί δύο φορές. Ετσι το πιθανότητες από αυτές τις διασταυρώσεις πρέπει επίσης να αφαιρεθεί.

Αλλά αφαιρέσαμε πάρα πολύ; Υπάρχει κάτι νέο να θεωρήσουμε ότι δεν έπρεπε να ανησυχούμε όταν υπήρχαν μόνο δύο σύνολα. Όπως και κάθε δύο σύνολα μπορούν να έχουν μια διασταύρωση, και τα τρία σύνολα μπορούν επίσης να έχουν μια διασταύρωση. Προσπαθώντας να βεβαιωθούμε ότι δεν μετρήσαμε τίποτα, δεν υπολογίσαμε όλα τα στοιχεία που εμφανίζονται και στα τρία σύνολα. Επομένως, πρέπει να προστεθεί ξανά η πιθανότητα της διασταύρωσης και των τριών συνόλων.

Εδώ είναι ο τύπος που προκύπτει από την παραπάνω συζήτηση:

Π (ΕΝΑ U σι U ντο) = Π(ΕΝΑ) + Π(σι) + Π(ντο) - Π(ΕΝΑ ∩ σι) - Π(ΕΝΑ ∩ ντο) - Π(σι ∩ ντο) + Π(ΕΝΑ ∩ σι ∩ ντο)

Για να δείτε τον τύπο για την πιθανότητα της ένωσης τριών σετ, ας υποθέσουμε ότι παίζουμε ένα επιτραπέζιο παιχνίδι που περιλαμβάνει κυλώντας δύο ζάρια. Λόγω των κανόνων του παιχνιδιού, πρέπει να έχουμε τουλάχιστον ένα από τα πεθαίνουν για να κερδίσουμε δύο, τρία ή τέσσερα. Ποια είναι η πιθανότητα αυτού; Σημειώνουμε ότι προσπαθούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα συνένωση τριών γεγονότων: κύλιση τουλάχιστον ενός δύο, κύλιση τουλάχιστον ενός τριών, κύλιση τουλάχιστον ενός τεσσάρων. Έτσι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον παραπάνω τύπο με τις ακόλουθες πιθανότητες:

• Η πιθανότητα κυλίσεως δύο είναι 11/36. Ο αριθμητής εδώ προέρχεται από το γεγονός ότι υπάρχουν έξι αποτελέσματα στα οποία το πρώτο die είναι ένα δύο, έξι στο οποίο το δεύτερο die είναι ένα δύο, και ένα αποτέλεσμα όπου αμφότερα τα ζάρια είναι δύο. Αυτό μας δίνει 6 + 6 - 1 = 11.
• Η πιθανότητα κύλισης ενός τρία είναι 11/36, για τον ίδιο λόγο όπως παραπάνω.
• Η πιθανότητα κύλισης τεσσάρων είναι 11/36, για τον ίδιο λόγο όπως παραπάνω.
• Η πιθανότητα κύλισης δύο και τριών είναι 2/36. Εδώ μπορούμε απλά να απαριθμήσουμε τις δυνατότητες, οι δύο θα μπορούσαν να έρθουν πρώτοι ή θα μπορούσαν να έρθουν δεύτερες.
• Η πιθανότητα κύλισης δύο και τεσσάρων είναι 2/36, για τον ίδιο λόγο που η πιθανότητα ενός και δύο τριών είναι 2/36.
• Η πιθανότητα να κυλήσει ένα δύο, τρία και τέσσερα είναι 0, επειδή ανεβάζουμε μόνο δύο ζάρια και δεν υπάρχει τρόπος να αποκτήσουμε τρεις αριθμούς με δύο ζάρια.

Χρησιμοποιούμε τώρα τον τύπο και βλέπουμε ότι η πιθανότητα να πάρει τουλάχιστον δύο, τρία ή τέσσερα είναι

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

Ο λόγος για τον οποίο ο τύπος για την πιθανότητα της ένωσης των τεσσάρων συνόλων έχει τη μορφή του είναι παρόμοιος με τη συλλογιστική για τον τύπο για τρεις ομάδες. Καθώς αυξάνεται ο αριθμός των σετ, αυξάνεται και ο αριθμός των ζευγών, τριπλασιάσεων και ούτω καθεξής. Με τέσσερα σύνολα υπάρχουν έξι ζεύξεις που πρέπει να αφαιρεθούν, τέσσερις τριπλές διασταυρώσεις για να προστεθούν ξανά και τώρα μια τετραπλή τομή που πρέπει να αφαιρεθεί. Λαμβάνοντας τέσσερα σύνολα ΕΝΑ, σι, ντο και ρε, ο τύπος για την ένωση αυτών των συνόλων έχει ως εξής:

Π (ΕΝΑ U σι U ντο U ρε) = Π(ΕΝΑ) + Π(σι) + Π(ντο) +Π(ρε) - Π(ΕΝΑ ∩ σι) - Π(ΕΝΑ ∩ ντο) - Π(ΕΝΑ ∩ ρε)- Π(σι ∩ ντο) - Π(σι ∩ ρε) - Π(ντο ∩ ρε) + Π(ΕΝΑ ∩ σι ∩ ντο) + Π(ΕΝΑ ∩ σι ∩ ρε) + Π(ΕΝΑ ∩ ντο ∩ ρε) + Π(σι ∩ ντο ∩ ρε) - Π(ΕΝΑ ∩ σι ∩ ντο ∩ ρε).

Θα μπορούσαμε να γράψουμε τύπους (που θα φαινόταν ακόμα πιο τρομακτικοί από αυτούς που προαναφέρθηκαν) για την πιθανότητα συνένωση περισσότερων από τέσσερις σειρές, αλλά από τη μελέτη των ανωτέρω τύπων θα πρέπει να παρατηρήσουμε κάποια πρότυπα. Αυτά τα μοτίβα κατέχουν για να υπολογίζουν τα συνδικάτα με περισσότερα από τέσσερα σύνολα. Η πιθανότητα σύνδεσης οποιουδήποτε αριθμού συνόλων μπορεί να βρεθεί ως εξής:

1. Προσθέστε τις πιθανότητες των μεμονωμένων συμβάντων.
2. Αφαιρέστε το πιθανότητες των διασταυρώσεων κάθε ζευγών γεγονότων.
3. Προσθέστε τις πιθανότητες της τομής κάθε σειράς τριών συμβάντων.
4. Αφαιρέστε τις πιθανότητες της τομής κάθε σειράς τεσσάρων συμβάντων.
5. Συνεχίστε τη διαδικασία έως ότου η τελευταία πιθανότητα είναι η πιθανότητα της τομής του συνολικού αριθμού συνόλων με τις οποίες ξεκινήσαμε.