Χρησιμοποιήστε υπό όρους πιθανότητα υπολογισμού διασταυρώσεων

ο υποθετική πιθανότητα ενός γεγονότος είναι η πιθανότητα ότι ένα ΕκδήλωσηΕΝΑ συμβαίνει δεδομένου ότι ένα άλλο γεγονός σι έχει ήδη συμβεί. Αυτός ο τύπος πιθανότητας υπολογίζεται περιορίζοντας το δείγμα χώρου με το οποίο εργαζόμαστε μόνο για το σετ σι.

Ο τύπος για την υπό όρους πιθανότητα μπορεί να ξαναγραφεί χρησιμοποιώντας κάποια βασική άλγεβρα. Αντί του τύπου:

Ρ (Α | Β) = Ρ (Α ∩ Β) / Ρ (Β),

πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές Ρ (Β) και να αποκτήσετε τον ισοδύναμο τύπο:

Ρ (Α | Β) Χ Ρ (Β) = Ρ (Α ∩ Β).

Στη συνέχεια, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο για να βρούμε την πιθανότητα να συμβούν δύο συμβάντα χρησιμοποιώντας την πιθανότητα υπό όρους.

Αυτή η έκδοση του τύπου είναι πολύ χρήσιμη όταν γνωρίζουμε την υπό όρους πιθανότητα ΕΝΑ δεδομένος σι καθώς και την πιθανότητα του γεγονότος σι. Αν συμβαίνει αυτό, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα του σημείο τομής του ΕΝΑ δεδομένος σι απλά πολλαπλασιάζοντας δύο άλλες πιθανότητες. Η πιθανότητα της τομής δύο γεγονότων είναι ένας σημαντικός αριθμός επειδή είναι η πιθανότητα να συμβούν και τα δύο συμβάντα.

Για το πρώτο μας παράδειγμα, υποθέστε ότι γνωρίζουμε τις ακόλουθες τιμές για πιθανότητες: Ρ (Α | Β) = 0.8 και Ρ (Β) = 0,5. Η πιθανότητα Ρ (Α ∩ Β) = 0,8 χ 0,5 = 0,4.

Ενώ το παραπάνω παράδειγμα δείχνει πώς λειτουργεί ο τύπος, μπορεί να μην είναι το πιο φωτεινό ως προς το πόσο χρήσιμο είναι ο παραπάνω τύπος. Έτσι θα εξετάσουμε ένα άλλο παράδειγμα. Υπάρχει ένα γυμνάσιο με 400 μαθητές, εκ των οποίων οι 120 είναι άνδρες και οι 280 είναι γυναίκες. Από τα αρσενικά, το 60% είναι σήμερα εγγεγραμμένο σε μαθήματα μαθηματικών. Από τα θηλυκά, το 80% είναι σήμερα εγγεγραμμένο σε μαθήματα μαθηματικών. Ποια είναι η πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγμένος φοιτητής να είναι γυναίκα που είναι εγγεγραμμένος σε μαθηματική μαθηματική διαδικασία;

Εδώ αφήσαμε φά υποδηλώνουν την εκδήλωση "Ο επιλεγμένος φοιτητής είναι γυναίκα" και Μ η εκδήλωση "Ο επιλεγμένος φοιτητής είναι εγγεγραμμένος σε μαθήματα μαθηματικών." Πρέπει να προσδιορίσουμε την πιθανότητα της διασταύρωσης αυτών των δύο συμβάντων, ή P (M ∩ F).

Ο παραπάνω τύπος μας δείχνει αυτό P (M ∩ F) = P (M | F) x P (F). Η πιθανότητα επιλογής μιας γυναίκας είναι P (F) = 280/400 = 70%. Η υποθετική πιθανότητα ότι ο επιλεγόμενος φοιτητής είναι εγγεγραμμένος σε μαθηματικό μάθημα, δεδομένου ότι έχει επιλεγεί μια γυναίκα P (M | F) = 80%. Πολλαπλασιάζουμε αυτές τις πιθανότητες μαζί και βλέπουμε ότι έχουμε μια πιθανότητα 80% x 70% = 56% για την επιλογή μιας φοιτήτριας που είναι εγγεγραμμένος σε μια μαθηματική μαθηματική διαδικασία.

Ο παραπάνω τύπος που σχετίζεται με την υπό όρους πιθανότητα και την πιθανότητα διασταύρωσης μας δίνει έναν εύκολο τρόπο να δούμε εάν έχουμε να κάνουμε με δύο ανεξάρτητα γεγονότα. Από τα γεγονότα ΕΝΑ και σι είναι ανεξάρτητες εάν Ρ (Α | Β) = Ρ (Α), από τον παραπάνω τύπο προκύπτει ότι τα γεγονότα ΕΝΑ και σι είναι ανεξάρτητα εάν και μόνον εάν:

Ρ (Α) χ Ρ (Β) = Ρ (Α ∩ Β)

Έτσι αν το ξέρουμε αυτό Ρ (Α) = 0.5, Ρ (Β) = 0,6 και Ρ (Α ∩ Β) = 0,2, χωρίς να γνωρίζουμε τίποτα άλλο, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι αυτά τα γεγονότα δεν είναι ανεξάρτητα. Γνωρίζουμε αυτό γιατί Ρ (Α) χ Ρ (Β) = 0,5 χ 0,6 = 0,3. Αυτή δεν είναι η πιθανότητα της διασταύρωσης του ΕΝΑ και σι.