Τι είναι η διασταύρωση των δύο σετ;

Όταν ασχολείστε με Θεωρία συνόλων, υπάρχουν ορισμένες λειτουργίες για να δημιουργηθούν νέες σειρές από παλιές. Μια από τις πιο συνηθισμένες λειτουργίες που ονομάζεται η τομή. Με απλά λόγια, η τομή δύο συνόλων ΕΝΑ και σι είναι το σύνολο όλων των στοιχείων που και τα δύο ΕΝΑ και σι έχουν κοινό.

Θα εξετάσουμε λεπτομέρειες σχετικά με τη διασταύρωση στη θεωρία των συνόλων. Όπως θα δούμε, η λέξη κλειδί εδώ είναι η λέξη "και".

Για παράδειγμα, πώς η τομή δύο συνόλων σχηματίζει α νέο σετ, ας εξετάσουμε τα σύνολα ΕΝΑ = {1, 2, 3, 4, 5} και σι = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Για να βρούμε τη διασταύρωση αυτών των δύο συνόλων, πρέπει να μάθουμε ποια στοιχεία έχουν κοινό. Οι αριθμοί 3, 4, 5 είναι στοιχεία και των δύο συνόλων, επομένως οι διασταυρώσεις των ΕΝΑ και σι είναι {3. 4. 5].

Εκτός από την κατανόηση των εννοιών σχετικά με τις λειτουργίες θεωρίας συνόλων, είναι σημαντικό να είναι δυνατή η ανάγνωση των συμβόλων που χρησιμοποιούνται για να δηλώσουν αυτές τις λειτουργίες. Το σύμβολο για το σημείο τομής αντικαθίσταται μερικές φορές από τη λέξη "και" μεταξύ δύο συνόλων. Αυτή η λέξη προτείνει την πιο συμπαγή ένδειξη για μια διασταύρωση που χρησιμοποιείται συνήθως.

Το σύμβολο που χρησιμοποιείται για τη διασταύρωση των δύο συνόλων ΕΝΑ και σι δίνεται από ΕΝΑ ∩ σι. Ένας τρόπος να θυμηθούμε ότι αυτό το σύμβολο ∩ αναφέρεται στη διασταύρωση είναι να παρατηρήσετε την ομοιότητά του με μια πρωτεύουσα Α, η οποία είναι σύντομη για τη λέξη "και."

Για να δείτε αυτό το συμβολισμό σε δράση, ανατρέξτε στο παραπάνω παράδειγμα. Εδώ είχαμε τα σετ ΕΝΑ = {1, 2, 3, 4, 5} και σι = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Έτσι θα γράψουμε την εξίσωση ΕΝΑ ∩ σι = {3, 4, 5}.

Μια βασική ταυτότητα που περιλαμβάνει τη διασταύρωση μας δείχνει τι συμβαίνει όταν παίρνουμε τη διασταύρωση οποιουδήποτε σετ με το κενό σύνολο, που σημειώνεται με # 8709. Το κενό σύνολο είναι το σετ χωρίς στοιχεία. Εάν δεν υπάρχουν στοιχεία σε τουλάχιστον ένα από τα σύνολα που προσπαθούμε να βρούμε τη διασταύρωση, τότε τα δύο σύνολα δεν έχουν κοινά στοιχεία. Με άλλα λόγια, η τομή κάθε σετ με το κενό σετ θα μας δώσει το κενό σύνολο.

Αυτή η ταυτότητα γίνεται ακόμα πιο συμπαγής με τη χρήση της συμβολής μας. Έχουμε την ταυτότητα: ΕΝΑ ∩ ∅ = ∅.

Για το άλλο άκρο, τι συμβαίνει όταν εξετάζουμε τη διασταύρωση ενός σετ με το καθολικό σύνολο; Παρόμοια με τη λέξη σύμπαν χρησιμοποιείται στην αστρονομία για να σημαίνει τα πάντα, το καθολικό σύνολο περιέχει κάθε στοιχείο. Επομένως, κάθε στοιχείο του σετ μας είναι επίσης ένα στοιχείο του παγκόσμιου σετ. Έτσι η τομή κάθε σετ με το καθολικό σύνολο είναι η σειρά που ξεκινήσαμε με.

Και πάλι ο συμβολισμός μας έρχεται στη διάσωση για να εκφράσει αυτή την ταυτότητα πιο συνοπτικά. Για οποιοδήποτε σετ ΕΝΑ και το γενικό σύνολο U, ΕΝΑ ∩ U = ΕΝΑ.

Υπάρχουν πολλές περισσότερες εξισώσεις που περιλαμβάνουν τη χρήση της λειτουργίας διασταύρωσης. Φυσικά, είναι πάντα καλό πρακτική χρησιμοποιώντας τη γλώσσα της θεωρίας των συνόλων. Για όλα τα σύνολα ΕΝΑ, και σι και ρε έχουμε:

• Ανακλαστική ιδιότητα: ΕΝΑ ∩ ΕΝΑ =ΕΝΑ
• Επαναστατική ιδιότητα: ΕΝΑ ∩ σι = σι ∩ ΕΝΑ
• Συνεταιριστική ιδιότητα: (ΕΝΑ ∩ σι) ∩ ρε =ΕΝΑ ∩ (σι ∩ ρε)
• Επιμεριστική ιδιότητα: (ΕΝΑ ∪ σι) ∩ ρε = (ΕΝΑ ∩ ρε)∪ (σι ∩ ρε)
• Νόμος DeMorgan I: (ΕΝΑ ∩ σι)^ντο = ΕΝΑ^ντο ∪ σι^ντο
• Νόμος II της DeMorgan: (ΕΝΑ ∪ σι)^ντο = ΕΝΑ^ντο ∩ σι^ντο