Λειτουργία δημιουργίας ροπής για διωνυμική κατανομή

Ο μέσος όρος και η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής Χ με διωνυμική κατανομή πιθανότητας μπορεί να είναι δύσκολο να υπολογιστεί άμεσα. Αν και μπορεί να είναι σαφές τι πρέπει να γίνει κατά τη χρήση του ορισμού του αναμενόμενη αξία του Χ και Χ², η πραγματική εκτέλεση αυτών των βημάτων είναι μια δύσκολη juggling της άλγεβρας και των αθροισμάτων. Ένας εναλλακτικός τρόπος για τον προσδιορισμό του μέσου όρου και της διακύμανσης του a διωνυμική κατανομή είναι να χρησιμοποιήσετε το λειτουργία δημιουργίας στιγμών Για Χ.

Ξεκινήστε με την τυχαία μεταβλητή Χ και περιγράψτε το κατανομή πιθανότητας πιο συγκεκριμένα. Εκτελώ n ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli, κάθε μία από τις οποίες έχει πιθανότητα επιτυχίας Π και πιθανότητα αποτυχίας 1 - Π. Επομένως η συνάρτηση μάζας πιθανότητας είναι

φά (Χ) = ντο(n, Χ)Π^Χ(1 – Π)^{n - Χ}

Εδώ ο όρος ντο(n, Χ) υποδηλώνει τον αριθμό των συνδυασμών των n στοιχεία που λαμβάνονται Χ κάθε φορά, και Χ μπορεί να πάρει τις τιμές 0, 1, 2, 3,. .., n.

Χρησιμοποιήστε αυτή τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας για να αποκτήσετε τη λειτουργία δημιουργίας στιγμής του Χ:

Μ(t) = Σ_{Χ = 0}ⁿμι^txντο(n,Χ)>)Π^Χ(1 – Π)^{n - Χ}.

Γίνεται σαφές ότι μπορείτε να συνδυάσετε τους όρους με τον εκθέτη του Χ:

Μ(t) = Σ_{Χ = 0}ⁿ (pe^t)^Χντο(n,Χ)>)(1 – Π)^{n - Χ}.

Επιπλέον, με τη χρήση του διωνυμικού τύπου, η παραπάνω έκφραση είναι απλά:

Μ(t) = [(1 – Π) + pe^t]ⁿ.

Για να βρείτε το σημαίνω και διακύμανση, θα πρέπει να γνωρίζετε και τα δύο Μ'(0) και Μ’’(0). Αρχίστε με τον υπολογισμό των παραγώγων σας και, στη συνέχεια, αξιολογήστε το καθένα από αυτά t = 0.

Θα δείτε ότι το πρώτο παράγωγο της συνάρτησης δημιουργίας στιγμής είναι:

Μ’(t) = n(pe^t)[(1 – Π) + pe^t]^{n - 1}.

Από αυτό, μπορείτε να υπολογίσετε τον μέσο όρο της κατανομής πιθανοτήτων. Μ(0) = n(pe⁰)[(1 – Π) + pe⁰]^{n - 1} = np. Αυτό αντιστοιχεί στην έκφραση που αποκτήσαμε απευθείας από τον ορισμό του μέσου όρου.

Ο υπολογισμός της διακύμανσης γίνεται με παρόμοιο τρόπο. Πρώτα, διαφοροποιήστε πάλι τη λειτουργία δημιουργίας στιγμής και στη συνέχεια αξιολογούμε αυτό το παράγωγο στο t = 0. Εδώ θα δείτε αυτό

Μ’’(t) = n(n - 1)(pe^t)²[(1 – Π) + pe^t]^{n - 2} + n(pe^t)[(1 – Π) + pe^t]^{n - 1}.

Για να υπολογίσετε τη διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής που πρέπει να βρείτε Μ’’(t). Εδώ έχεις Μ’’(0) = n(n - 1)Π² +np. Η διακύμανση σ² της διανομής σας είναι

σ² = Μ’’(0) – [Μ’(0)]² = n(n - 1)Π² +np - (np)² = np(1 - Π).

Αν και αυτή η μέθοδος εμπλέκεται κάπως, δεν είναι τόσο περίπλοκη όσο ο υπολογισμός του μέσου όρου και της διακύμανσης απευθείας από τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας.