Βαθμοί Ελευθερίας για Ανεξαρτησία στον Αμφίδρομο Πίνακα

Ο αριθμός των βαθμοί ελευθερίας για την ανεξαρτησία δύο κατηγορικών μεταβλητών δίνεται με έναν απλό τύπο:r - 1)(ντο - 1). Εδώ r είναι ο αριθμός των σειρών και ντο είναι ο αριθμός των στηλών στη στήλη τραπέζι δύο δρόμων των αξιών της κατηγορικής μεταβλητής. Διαβάστε παρακάτω για να μάθετε περισσότερα σχετικά με αυτό το θέμα και να καταλάβετε γιατί αυτός ο τύπος δίνει τον σωστό αριθμό.

Ένα βήμα στη διαδικασία πολλών δοκιμές υποθέσεων είναι ο προσδιορισμός των αριθμών βαθμών ελευθερίας. Αυτός ο αριθμός είναι σημαντικός επειδή για κατανομών πιθανοτήτων που περιλαμβάνουν μια οικογένεια διανομών, όπως η κατανομή chi-square, ο αριθμός των βαθμών η ελευθερία εντοπίζει την ακριβή κατανομή από την οικογένεια που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε στην υπόθεση μας δοκιμή.

Οι βαθμοί ελευθερίας αντιπροσωπεύουν τον αριθμό των ελεύθερων επιλογών που μπορούμε να κάνουμε σε μια δεδομένη κατάσταση. Μια από τις δοκιμασίες υποθέσεων που απαιτεί από εμάς να καθορίσουμε τους βαθμούς ελευθερίας είναι chi-square δοκιμή για την ανεξαρτησία δύο κατηγορικών μεταβλητών.

Η δοκιμή chi-square για την ανεξαρτησία μας ζητά να κατασκευάσουμε ένα αμφίδρομο τραπέζι, γνωστό και ως πίνακα έκτακτης ανάγκης. Αυτός ο τύπος πίνακα έχει r σειρές και ντο στήλες, που αντιπροσωπεύουν το r επίπεδα μιας κατηγορικής μεταβλητής και του ντο επίπεδα της άλλης κατηγορικής μεταβλητής. Έτσι, αν δεν μετρήσουμε τη σειρά και τη στήλη στην οποία καταγράφουμε τα σύνολα, υπάρχουν συνολικά rc κυττάρων στον αμφίδρομο πίνακα.

Η δοκιμή chi-square για την ανεξαρτησία μας επιτρέπει να ελέγξουμε την υπόθεση ότι το κατηγορηματικός οι μεταβλητές είναι ανεξάρτητες το ένα από το άλλο. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, το r σειρές και ντο στήλες στον πίνακα μας δίνουν (r - 1)(ντο - 1) βαθμοί ελευθερίας. Αλλά ίσως να μην είναι άμεσα σαφές γιατί αυτός είναι ο σωστός αριθμός βαθμών ελευθερίας.

Για να δείτε γιατίr - 1)(ντο - 1) είναι ο σωστός αριθμός, θα εξετάσουμε αυτή την κατάσταση με περισσότερες λεπτομέρειες. Υποθέστε ότι γνωρίζουμε τα οριακά σύνολα για κάθε ένα από τα επίπεδα των κατηγορικών μας μεταβλητών. Με άλλα λόγια, γνωρίζουμε το σύνολο για κάθε σειρά και το σύνολο για κάθε στήλη. Για την πρώτη σειρά, υπάρχουν ντο στήλες στον πίνακα μας, έτσι υπάρχουν ντο κυττάρων. Αφού γνωρίζουμε τις τιμές όλων από ένα από αυτά τα κελιά, τότε επειδή γνωρίζουμε το σύνολο όλων των κυττάρων, είναι ένα απλό πρόβλημα άλγεβρας για τον προσδιορισμό της τιμής του υπόλοιπου κυττάρου. Αν συμπληρώσαμε αυτά τα κελιά του τραπέζι μας, θα μπορούσαμε να εισέλθουμε ντο - 1 από αυτά ελεύθερα, αλλά στη συνέχεια το υπόλοιπο κελί καθορίζεται από το σύνολο της σειράς. Έτσι υπάρχουν ντο - 1 βαθμός ελευθερίας για την πρώτη σειρά.

Συνεχίζουμε με αυτόν τον τρόπο για την επόμενη σειρά και υπάρχουν και πάλι ντο - 1 βαθμός ελευθερίας. Αυτή η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι να φτάσουμε στην προτελευταία σειρά. Κάθε μία από τις σειρές εκτός από την τελευταία συνεισφέρει ντο - 1 βαθμός ελευθερίας στο σύνολο. Μέχρι τη στιγμή που έχουμε όλες εκτός από την τελευταία σειρά, τότε επειδή γνωρίζουμε το άθροισμα στήλης μπορούμε να καθορίσουμε όλες τις καταχωρίσεις της τελευταίας σειράς. Αυτό μας δίνει r - 1 σειρά με ντο - 1 βαθμό ελευθερίας σε καθένα από αυτά, για ένα σύνολο (r - 1)(ντο - 1) βαθμοί ελευθερίας.

Το βλέπουμε με το ακόλουθο παράδειγμα. Υποθέστε ότι έχουμε έναν πίνακα δύο δρόμων με δύο κατηγορικές μεταβλητές. Μία μεταβλητή έχει τρία επίπεδα και η άλλη έχει δύο. Επιπλέον, ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε τα σύνολα γραμμών και στηλών για αυτόν τον πίνακα:

Ο τύπος προβλέπει ότι υπάρχουν (3-1) (2-1) = 2 βαθμοί ελευθερίας. Το βλέπουμε ως εξής. Ας υποθέσουμε ότι συμπληρώνουμε το άνω αριστερό κελί με τον αριθμό 80. Αυτό θα καθορίσει αυτόματα ολόκληρη την πρώτη σειρά καταχωρήσεων:

Τώρα αν γνωρίζουμε ότι η πρώτη είσοδος στη δεύτερη σειρά είναι 50, τότε συμπληρώνεται το υπόλοιπο του πίνακα, επειδή γνωρίζουμε το σύνολο κάθε σειράς και στήλης:

Το τραπέζι είναι πλήρως συμπληρωμένο, αλλά είχαμε μόνο δύο ελεύθερες επιλογές. Μόλις αυτές οι τιμές ήταν γνωστές, το υπόλοιπο του πίνακα καθορίστηκε πλήρως.

Παρόλο που συνήθως δεν πρέπει να γνωρίζουμε γιατί υπάρχουν πολλοί βαθμοί ελευθερίας, είναι καλό να γνωρίζουμε ότι εφαρμόζουμε πραγματικά την έννοια των βαθμών ελευθερίας σε μια νέα κατάσταση.