Ποιο είναι το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης;

Βρίσκεστε στους δρόμους της Αγίας Πετρούπολης της Ρωσίας και ένας γέρος προτείνει το επόμενο παιχνίδι. Ανεβάζει ένα νόμισμα (και θα δανειστεί ένα από τα δικά σας αν δεν εμπιστεύεστε ότι είναι δίκαιο). Αν φτάσει τα ουρά, τότε χάνετε και το παιχνίδι τελειώνει. Εάν το νόμισμα προσγειώνεται, τότε κερδίζετε ένα ρούβλι και το παιχνίδι συνεχίζεται. Το κέρμα εκτοξεύεται και πάλι. Αν είναι ουρές, τότε το παιχνίδι τελειώνει. Αν είναι κεφάλια, κερδίζετε δύο επιπλέον ρούβλια. Το παιχνίδι συνεχίζεται με αυτόν τον τρόπο. Για κάθε διαδοχικό κεφάλι διπλασιάζουμε τα κέρδη μας από τον προηγούμενο γύρο, αλλά στο σημείο της πρώτης ουράς, το παιχνίδι τελειώνει.

Πόσο θα πληρώσατε για να παίξετε αυτό το παιχνίδι; Όταν εξετάζουμε το αναμενόμενη αξία αυτού του παιχνιδιού, θα πρέπει να πηδήσετε στην ευκαιρία, ανεξάρτητα από το κόστος που πρέπει να παίξετε. Ωστόσο, από την παραπάνω περιγραφή, πιθανότατα δεν θα είστε διατεθειμένοι να πληρώσετε πολλά. Μετά από όλα, υπάρχει μια πιθανότητα 50% να κερδίσετε τίποτα. Αυτό είναι αυτό που είναι γνωστό ως το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης, το οποίο κατονομάζεται στην έκδοση του 1738 του Daniel Bernoulli

Ας αρχίσουμε με τον υπολογισμό πιθανότητες που σχετίζονται με αυτό το παιχνίδι. Η πιθανότητα ένα δίκαιο κέρμα προσγειώνεται με κεφαλαία είναι 1/2. Κάθε εκκένωση κερμάτων είναι ένα ανεξάρτητο γεγονός και έτσι πολλαπλασιάζουμε τις πιθανότητες πιθανώς με τη χρήση ενός δέντρο διάγραμμα.

• Η πιθανότητα δύο κεφαλών στη σειρά είναι (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• Η πιθανότητα τριών κεφαλίδων στη σειρά είναι (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Για να εκφραστεί η πιθανότητα n κεφάλια σε μια σειρά, όπου n είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός που χρησιμοποιούμε εκθέτες για να γράψουμε 1/2ⁿ.

Τώρα ας προχωρήσουμε και δούμε αν μπορούμε να γενικεύσουμε ποια θα είναι τα κέρδη σε κάθε γύρο.

• Εάν έχετε το κεφάλι στον πρώτο γύρο κερδίζετε ένα ρούβλι για αυτόν τον γύρο.
• Αν υπάρχει στο δεύτερο γύρο, κερδίζετε δύο ρούβλια σε αυτόν τον γύρο.
• Αν υπάρχει τρίτος γύρος, κερδίζετε τέσσερα ρούβλια σε αυτόν τον γύρο.
• Εάν ήσαστε αρκετά τυχερός για να φτάσετε στο δρόμο προς το n^th τότε θα κερδίσετε 2^n-1 ρούβλια σε αυτόν τον γύρο.

Η αναμενόμενη αξία ενός παιχνιδιού μας λέει ποια θα είναι τα κέρδη κατά μέσο όρο, αν παίζατε το παιχνίδι πολλές φορές. Για να υπολογίσουμε την αναμενόμενη αξία, πολλαπλασιάζουμε την αξία των κερδών από κάθε γύρο με την πιθανότητα να φτάσουμε σε αυτόν τον γύρο και στη συνέχεια να προσθέσουμε όλα αυτά τα προϊόντα μαζί.

• Από τον πρώτο γύρο, έχετε πιθανότητα 1/2 και κέρδη 1 ρούβλι: 1/2 x 1 = 1/2
• Από τον δεύτερο γύρο, έχετε πιθανότητα 1/4 και κέρδη 2 ρούβλια: 1/4 x 2 = 1/2
• Από τον πρώτο γύρο, έχετε πιθανότητα 1/8 και κέρδη 4 ρούβλια: 1/8 x 4 = 1/2
• Από τον πρώτο γύρο έχετε πιθανότητα 1/16 και κέρδη 8 ρούβι: 1/16 x 8 = 1/2
• Από τον πρώτο γύρο, έχετε πιθανότητα 1/2ⁿ και κέρδη 2^n-1 ρούβλια: 1/2ⁿ x 2^n-1 = 1/2

Η τιμή από κάθε γύρο είναι 1/2, και η προσθήκη των αποτελεσμάτων από την πρώτη n γύρους μαζί μας δίνει μια αναμενόμενη τιμή του n/ 2 ρούβλια. Από n μπορεί να είναι οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος αριθμός, η αναμενόμενη τιμή είναι απεριόριστη.

Τι πρέπει να πληρώσετε για να παίξετε; Ένα ρούβλι, χίλια ρούβλια ή ακόμη και ένα δισεκατομμύριο τα ρούβλια θα είναι μακροπρόθεσμα μικρότερα από την αναμενόμενη. Παρά τον παραπάνω υπολογισμό που υπόσχεται άφθονα πλούτη, θα είμαστε όλοι απρόθυμοι να πληρώσουμε πολύ για να παίξουμε.

Υπάρχουν πολλοί τρόποι επίλυσης του παράδοξου. Ένας από τους απλούστερους τρόπους είναι ότι κανείς δεν θα προσφέρει ένα παιχνίδι όπως αυτό που περιγράφηκε παραπάνω. Κανείς δεν έχει τους άπειρους πόρους που θα χρειαζόταν για να πληρώσει κάποιον που συνέχισε να γυρίζει τα κεφάλια.

Ένας άλλος τρόπος να επιλυθεί το παράδοξο συνεπάγεται να επισημανθεί πόσο απίθανο είναι να πάρεις κάτι σαν 20 κεφαλές στη σειρά. ο πιθανότητα αυτού του γεγονότος είναι καλύτερο από το να κερδίσετε το μεγαλύτερο κράτος λαχειοφόρες αγορές. Οι άνθρωποι συνήθως παίζουν τέτοιες λαχειοφόρες αγορές για πέντε δολάρια ή λιγότερο. Έτσι, η τιμή για να παίξει το παιχνίδι της Αγίας Πετρούπολης δεν πρέπει να ξεπερνά τα λίγα δολάρια.

Αν ο άνθρωπος μέσα Αγία Πετρούπολη λέει ότι θα κοστίσει τίποτα περισσότερο από λίγα ρούβλια για να παίξει το παιχνίδι του, θα πρέπει να αρνούνται ευγενικά και να περπατούν μακριά. Τα ρούβλια δεν αξίζουν πολύ.