Πώς χρησιμοποιούνται διαστήματα εμπιστοσύνης για τον υπολογισμό διαφορετικών παραμέτρων

Επαγωγική στατιστική παίρνει το όνομά του από αυτό που συμβαίνει σε αυτό το κλάδο των στατιστικών στοιχείων. Αντί να περιγράφει απλώς ένα σύνολο δεδομένων, οι στατιστικές εισδοχής επιδιώκουν να συναγάγουν κάτι για έναν πληθυσμό με βάση ένα στατιστικό δείγμα. Ένας συγκεκριμένος στόχος στις στατιστικές των συμπερασμάτων περιλαμβάνει τον προσδιορισμό της αξίας ενός άγνωστου πληθυσμού παράμετρο. Το εύρος των τιμών που χρησιμοποιούμε για την εκτίμηση αυτής της παραμέτρου ονομάζεται διάστημα εμπιστοσύνης.

Ένα διάστημα εμπιστοσύνης αποτελείται από δύο μέρη. Το πρώτο μέρος είναι η εκτίμηση της παραμέτρου του πληθυσμού. Λαμβάνουμε αυτήν την εκτίμηση χρησιμοποιώντας το a απλό τυχαίο δείγμα. Από αυτό το δείγμα, υπολογίζουμε το στατιστικό στοιχείο που αντιστοιχεί στην παράμετρο που επιθυμούμε να υπολογίσουμε. Για παράδειγμα, εάν μας ενδιαφέρει το μέσο ύψος όλων των φοιτητών πρώτης τάξεως στις Ηνωμένες Πολιτείες, θα το κάναμε χρησιμοποιήστε ένα απλό τυχαίο δείγμα των πρώτων γκρέιντερ των ΗΠΑ, μετρήστε όλα αυτά και στη συνέχεια υπολογίστε το μέσο ύψος του μας δείγμα.

Το δεύτερο μέρος ενός διαστήματος εμπιστοσύνης είναι το περιθώριο σφάλματος. Αυτό είναι απαραίτητο επειδή μόνο οι εκτιμήσεις μας μπορεί να διαφέρουν από την πραγματική τιμή της παράμετρος του πληθυσμού. Προκειμένου να επιτραπούν άλλες πιθανές τιμές της παραμέτρου, πρέπει να παράγουμε μια σειρά αριθμών. Το περιθώριο σφάλματος το κάνει και κάθε διάστημα εμπιστοσύνης έχει την ακόλουθη μορφή:

Εκτίμηση ± Περιθώριο σφάλματος

Η εκτίμηση βρίσκεται στο κέντρο του διαστήματος και στη συνέχεια αφαιρούμε και προσθέτουμε το περιθώριο σφάλματος από αυτήν την εκτίμηση για να αποκτήσουμε ένα εύρος τιμών για την παράμετρο.

Συνδεδεμένο σε κάθε διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα επίπεδο εμπιστοσύνης. Αυτή είναι μια πιθανότητα ή ποσοστό που δείχνει πόση βεβαιότητα θα πρέπει να αποδοθεί στο διάστημα εμπιστοσύνης μας. Εάν όλες οι άλλες πτυχές μιας κατάστασης είναι ίδιες, τόσο υψηλότερο είναι το επίπεδο εμπιστοσύνης τόσο ευρύτερο είναι το διάστημα εμπιστοσύνης.

Αυτό το επίπεδο εμπιστοσύνης μπορεί οδηγούν σε κάποια σύγχυση. Δεν πρόκειται για δήλωση σχετικά με τη διαδικασία δειγματοληψίας ή τον πληθυσμό. Αντ 'αυτού, δίνει μια ένδειξη της επιτυχίας της διαδικασίας κατασκευής ενός διαστήματος εμπιστοσύνης. Για παράδειγμα, τα διαστήματα εμπιστοσύνης με εμπιστοσύνη 80%, μακροπρόθεσμα, θα χάσουν την πραγματική παράμετρο του πληθυσμού μία στις πέντε φορές.

Οποιοσδήποτε αριθμός από μηδέν έως ένα θα μπορούσε θεωρητικά να χρησιμοποιηθεί για επίπεδο εμπιστοσύνης. Στην πράξη το 90 τοις εκατό, το 95 τοις εκατό και το 99 τοις εκατό είναι όλα τα κοινά επίπεδα εμπιστοσύνης.

Το περιθώριο σφάλματος ενός επιπέδου εμπιστοσύνης καθορίζεται από διάφορους παράγοντες. Μπορούμε να δούμε αυτό εξετάζοντας τον τύπο περιθωρίου σφάλματος. Ένα περιθώριο σφάλματος είναι της μορφής:

Περιθώριο σφάλματος = (Στατιστικό για το επίπεδο εμπιστοσύνης) * (τυπική απόκλιση / σφάλμα)

Το στατιστικό στοιχείο για το επίπεδο εμπιστοσύνης εξαρτάται από το τι κατανομή πιθανότητας χρησιμοποιείται και το επίπεδο εμπιστοσύνης που έχουμε επιλέξει. Για παράδειγμα, εάν ντοείναι το επίπεδο εμπιστοσύνης μας και δουλεύουμε με ένα κανονική κατανομή, έπειτα ντο είναι η περιοχή κάτω από την καμπύλη μεταξύ -z^* προς το z^*. Αυτός ο αριθμός z^* είναι ο αριθμός στο πεδίο περιθωρίου σφάλματος μας.

Ο άλλος όρος που απαιτείται στο περιθώριο λάθους μας είναι η τυπική απόκλιση ή το τυπικό σφάλμα. Η τυπική απόκλιση της διανομής με την οποία εργαζόμαστε προτιμάται εδώ. Ωστόσο, συνήθως οι παράμετροι από τον πληθυσμό είναι άγνωστες. Αυτός ο αριθμός δεν είναι συνήθως διαθέσιμος κατά τη διαμόρφωση των διαστημάτων εμπιστοσύνης στην πράξη.

Για να αντιμετωπιστεί αυτή η αβεβαιότητα όσον αφορά τη γνώση της τυπικής απόκλισης, χρησιμοποιούμε το τυπικό σφάλμα. Το τυπικό σφάλμα που αντιστοιχεί σε τυπική απόκλιση είναι μια εκτίμηση αυτής της τυπικής απόκλισης. Αυτό που κάνει το τυπικό σφάλμα τόσο ισχυρό είναι ότι υπολογίζεται από το απλό τυχαίο δείγμα που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της εκτίμησής μας. Δεν χρειάζονται επιπλέον πληροφορίες καθώς το δείγμα κάνει όλη την εκτίμηση για εμάς.

Υπάρχουν διάφορες διαφορετικές καταστάσεις που απαιτούν διαστήματα εμπιστοσύνης. Αυτά τα διαστήματα εμπιστοσύνης χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση ενός αριθμού διαφορετικών παραμέτρων. Αν και αυτές οι πτυχές είναι διαφορετικές, όλα αυτά τα διαστήματα εμπιστοσύνης ενώνονται με την ίδια συνολική μορφή. Ορισμένα κοινά διαστήματα εμπιστοσύνης είναι εκείνα για τον μέσον του πληθυσμού, τη διακύμανση του πληθυσμού, την αναλογία του πληθυσμού, τη διαφορά των δύο μέσων πληθυσμού και τη διαφορά δύο πληθυσμιακών αναλογιών.