Διωνυμικός πίνακας για n = 7, n = 8 και n = 9

Μια δυαδική τυχαία μεταβλητή παρέχει ένα σημαντικό παράδειγμα α διακεκριμένος τυχαία μεταβλητή. Η διωνυμική κατανομή, η οποία περιγράφει την πιθανότητα για κάθε τιμή της τυχαίας μας μεταβλητής, μπορεί να προσδιοριστεί πλήρως από τις δύο παραμέτρους: n και Π. Εδώ n είναι ο αριθμός ανεξάρτητων δοκιμών και Π είναι η συνεχής πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιμή. Οι παρακάτω πίνακες παρέχουν διωνυμικές πιθανότητες για n = 7,8 και 9. Οι πιθανότητες σε κάθε ένα είναι στρογγυλοποιημένες στα τρία δεκαδικά ψηφία.

Πρέπει να διωνυμική κατανομή;. Πριν πηδήσετε για να χρησιμοποιήσετε αυτό το τραπέζι, πρέπει να ελέγξουμε ότι πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

1. Έχουμε ένα πεπερασμένο αριθμό παρατηρήσεων ή δοκιμών.
2. Το αποτέλεσμα κάθε δοκιμής μπορεί να ταξινομηθεί είτε ως επιτυχία είτε ως αποτυχία.
3. Η πιθανότητα επιτυχίας παραμένει σταθερή.
4. Οι παρατηρήσεις είναι ανεξάρτητες το ένα από το άλλο.

Όταν πληρούνται αυτές οι τέσσερις συνθήκες, η διωνυμική κατανομή θα δώσει την πιθανότητα r επιτυχίες σε ένα πείραμα με ένα σύνολο

Για άλλους πίνακες διωνυμικής διανομής έχουμε n = 2 έως 6, n = 10 έως 11. Όταν οι τιμές του np και n(1 - Π) είναι και οι δύο μεγαλύτερες ή ίσες με 10, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το κανονική προσέγγιση προς την διωνυμική κατανομή. Αυτό μας δίνει μια καλή προσέγγιση των πιθανοτήτων μας και δεν απαιτεί τον υπολογισμό των διωνυμικών συντελεστών. Αυτό προσφέρει ένα μεγάλο πλεονέκτημα επειδή αυτοί οι διωνυμικοί υπολογισμοί μπορούν να εμπλακούν αρκετά.

Γενεσιολογία έχει πολλές συνδέσεις με την πιθανότητα. Θα εξετάσουμε ένα για να απεικονίσουμε τη χρήση της διωνυμικής διανομής. Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα ενός απογόνου να κληρονομήσει δύο αντίγραφα ενός υπολειπόμενου γονιδίου (και επομένως να κατέχει το υπολειπόμενο χαρακτηριστικό που μελετάμε) είναι 1/4.

Επιπλέον, θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα ότι ένα συγκεκριμένο αριθμό παιδιών σε μια οκταμελή οικογένεια διαθέτει αυτό το χαρακτηριστικό. Αφήνω Χ να είναι ο αριθμός των παιδιών με αυτό το χαρακτηριστικό. Εξετάζουμε το τραπέζι για n = 8 και η στήλη με Π = 0,25 και δείτε τα εξής:

.100
.267.311.208.087.023.004

Αυτό σημαίνει για το παράδειγμά μας αυτό

• P (X = 0) = 10,0%, που είναι η πιθανότητα ότι κανένα από τα παιδιά δεν έχει το υπολειπόμενο χαρακτηριστικό.
• P (X = 1) = 26,7%, που είναι η πιθανότητα ένα από τα παιδιά να έχει το υπολειπόμενο χαρακτηριστικό.
• P (X = 2) = 31,1%, που είναι η πιθανότητα ότι δύο από τα παιδιά έχουν το υπολειπόμενο χαρακτηριστικό.
• P (X = 3) = 20,8%, που είναι η πιθανότητα ότι τρία παιδιά έχουν το υπολειπόμενο χαρακτηριστικό.
• P (X = 4) = 8,7%, που είναι η πιθανότητα ότι τέσσερα από τα παιδιά έχουν το υπολειπόμενο χαρακτηριστικό.
• P (X = 5) = 2,3%, που είναι η πιθανότητα ότι πέντε από τα παιδιά έχουν το υπολειπόμενο χαρακτηριστικό.
• P (X = 6) = 0,4%, που είναι η πιθανότητα ότι έξι από τα παιδιά έχουν το υπολειπόμενο χαρακτηριστικό.

n = 7

n = 8

n = 9