Τι είναι η αντίστροφη, αντιπαραθετική και αντίστροφη;

Οι υπό όρους δηλώσεις κάνουν εμφανίσεις παντού. Στα μαθηματικά ή αλλού, δεν παίρνει πολύ καιρό να τρέξει σε κάτι της μορφής "Εάν Π έπειτα Q. " Οι υπό όρους δηλώσεις είναι πράγματι σημαντικές. Αυτό που είναι επίσης σημαντικό είναι οι δηλώσεις που σχετίζονται με την αρχική υπό όρους δήλωση αλλάζοντας τη θέση του Π, Q και την άρνηση μιας δήλωσης. Ξεκινώντας με μια αρχική δήλωση, καταλήγουμε με τρεις νέες δηλώσεις υπό όρους οι οποίες ονομάζονται το αντίστροφο, το αντιστρόφως και το αντίστροφος.

Πριν να ορίσουμε το αντίστροφο, το αντιστρόφως και το αντίστροφο μιας υπό όρους δήλωσης, πρέπει να εξετάσουμε το θέμα της άρνησης. Κάθε δήλωση στο λογική είναι είτε αληθές είτε ψευδές. Η άρνηση μιας δήλωσης απλώς περιλαμβάνει την εισαγωγή της λέξης "όχι" στο σωστό μέρος της δήλωσης. Η προσθήκη της λέξης "όχι" γίνεται έτσι ώστε να αλλάζει την κατάσταση αλήθειας της δήλωσης.

Θα βοηθήσει να εξετάσουμε ένα παράδειγμα. Η δήλωση "The ορθογώνιο τρίγωνο είναι ισόπλευρο "έχει άρνηση" Το σωστό τρίγωνο δεν είναι ισόπλευρο ". Η άρνηση του "10 είναι ένας άρτος αριθμός" είναι η δήλωση "10 δεν είναι ένας ζυγός αριθμός." Φυσικά, γι 'αυτό το τελευταίο παράδειγμα, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό ενός περίεργου αριθμού και, αντίθετα, να πούμε ότι "10 είναι ένας περίεργος αριθμός". Σημειώνουμε ότι η αλήθεια μιας δήλωσης είναι το αντίθετο από εκείνο του άρνηση.

Θα εξετάσουμε αυτή την ιδέα σε ένα πιο αφηρημένο πλαίσιο. Όταν η δήλωση Π είναι αλήθεια, η δήλωση "όχι Π"Είναι ψευδής. Ομοίως, εάν Π είναι ψευδής, η άρνηση του "όχιΠ" είναι αλήθεια. Οι αρνητικές ιδιότητες υποδηλώνονται συνήθως με ένα tilda. Έτσι αντί να γράφετε "όχι Π"Μπορούμε να γράψουμε ~Π.

Τώρα μπορούμε να ορίσουμε το αντίστροφο, το αντιστρόφως και το αντίστροφο μιας υπό όρους δήλωσης. Αρχίζουμε με την υποθετική δήλωση "Εάν Π έπειτα Q.”

• Το αντίστροφο της δήλωσης υπό όρους είναι "Εάν Q έπειτα Π.”
• Το αντίθετο από την υπό όρους δήλωση είναι "Αν όχι Q τότε όχι Π.”
• Το αντίστροφο της δήλωσης υπό όρους είναι "Αν όχι Π τότε όχι Q.”

Θα δούμε πώς αυτές οι δηλώσεις δουλεύουν με ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι ξεκινάμε με την υποθετική δήλωση "Αν βρέθηκε χθες το βράδυ, τότε το πεζοδρόμιο είναι υγρό".

• Το αντίστροφο της δήλωσης υπό όρους είναι: "Εάν το πεζοδρόμιο είναι υγρό, τότε βρέθηκε χθες το βράδυ."
• Ο αντισυμβαλλόμενος της δήλωσης υπό όρους είναι "Αν το πεζοδρόμιο δεν είναι βρεγμένο, τότε δεν βρέθηκε χτες τη νύχτα".
• Το αντίστροφο της δήλωσης υπό όρους είναι "Αν δεν βρέθηκε χτες τη νύχτα, τότε το πεζοδρόμιο δεν είναι βρεγμένο".

Μπορούμε να αναρωτηθούμε γιατί είναι σημαντικό να διαμορφώσουμε αυτές τις άλλες υποθετικές δηλώσεις από την αρχική μας. Μια προσεκτική ματιά στο παραπάνω παράδειγμα αποκαλύπτει κάτι. Υποθέστε ότι η αρχική δήλωση "Εάν βρέθηκε χθες το βράδυ, τότε το πεζοδρόμιο είναι υγρό" είναι αλήθεια. Ποιες από τις άλλες δηλώσεις πρέπει να είναι αλήθεια;

• Το αντίθετο "Εάν το πεζοδρόμιο είναι υγρό, τότε βρέθηκε χθες το βράδυ" δεν είναι απαραίτητα αληθινό. Το πεζοδρόμιο θα μπορούσε να είναι υγρό για άλλους λόγους.
• Το αντίστροφο "Αν δεν βρέθηκε χτες τη νύχτα, τότε το πεζοδρόμιο δεν είναι υγρό" δεν είναι κατ 'ανάγκη αληθινό. Και πάλι, μόνο και μόνο επειδή δεν βροχή δεν σημαίνει ότι το πεζοδρόμιο δεν είναι βρεγμένο.
• Το αντίθετο "Εάν το πεζοδρόμιο δεν είναι υγρό, τότε δεν βρέθηκε χτες τη νύχτα" είναι μια αληθινή δήλωση.

Αυτό που βλέπουμε από αυτό το παράδειγμα (και αυτό που μπορεί να αποδειχθεί μαθηματικά) είναι ότι μια υπό όρους δήλωση έχει την ίδια αξία αλήθειας με την αντίθεση της. Λέμε ότι αυτές οι δύο δηλώσεις είναι λογικά ισοδύναμες. Βλέπουμε επίσης ότι μια υπό όρους δήλωση δεν είναι λογικά ισοδύναμη με την αντίστροφη και αντίστροφη.

Δεδομένου ότι μια υπό όρους δήλωση και το αντίθετο είναι λογικά ισοδύναμα, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε προς όφελός μας όταν αποδεικνύουμε μαθηματικά θεωρήματα. Αντί να αποδείξουμε απευθείας την αλήθεια μιας υπό όρους δήλωσης, μπορούμε αντ 'αυτού να χρησιμοποιήσουμε την στρατηγική έμμεσης απόδειξης για να αποδείξουμε την αλήθεια του αντισυμβαλλομένου αυτής της δήλωσης. Οι αντισυμβατικές αποδείξεις λειτουργούν επειδή, αν το αντιστάθμισμα είναι αληθές, λόγω λογικής ισοδυναμίας, η αρχική υπό όρους δήλωση είναι επίσης αληθής.

Αποδεικνύεται ότι ακόμα και αν το το αντίστροφο και το αντίστροφο δεν είναι λογικά ισοδύναμα με την αρχική υπό όρους δήλωση, είναι λογικά ισοδύναμα μεταξύ τους. Υπάρχει μια εύκολη εξήγηση για αυτό. Αρχίζουμε με την υποθετική δήλωση "Εάν Q έπειτα Π”. Το αντίθετο από τη δήλωση αυτή είναι "Αν όχι Π τότε όχι Q. " Δεδομένου ότι το αντίστροφο είναι το αντίστροφο του αντίστροφου, το αντίστροφο και αντίστροφο είναι λογικά ισοδύναμα.