Ποιοι είναι οι νόμοι του De Morgan;

Οι μαθηματικές στατιστικές μερικές φορές απαιτούν τη χρήση της θεωρίας των συνόλων. Οι νόμοι του De Morgan είναι δύο δηλώσεις που περιγράφουν τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των διαφόρων λειτουργιών θεωρίας των συνόλων. Οι νόμοι είναι εκείνοι για δύο σύνολα ΕΝΑ και σι:

1. (ΕΝΑ ∩ σι)^ντο = ΕΝΑ^ντο U σι^ντο.
2. (ΕΝΑ U σι)^ντο = ΕΝΑ^ντο ∩ σι^ντο.

Αφού εξηγήσουμε τι σημαίνει κάθε μια από αυτές τις δηλώσεις, θα δούμε ένα παράδειγμα καθεμίας από αυτές που χρησιμοποιούνται.

Για να καταλάβουμε τι λένε οι νόμοι του De Morgan, πρέπει να θυμηθούμε ορισμένους ορισμούς των λειτουργιών θεωρίας των συνόλων. Συγκεκριμένα, πρέπει να ξέρουμε για το ένωση και σημείο τομής από δύο σύνολα και το συμπλήρωμα ενός συνόλου.

Οι νόμοι του De Morgan σχετίζονται με την αλληλεπίδραση της ένωσης, τη διασταύρωση και το συμπλήρωμα. Θυμηθείτε ότι:

• Η διασταύρωση των συνόλων ΕΝΑ και σι αποτελείται από όλα τα στοιχεία που είναι κοινά και στα δύο ΕΝΑ και σι. Η διασταύρωση υποδηλώνεται από ΕΝΑ ∩ σι.
• Η ένωση των συνόλων
  instagram viewer
  ΕΝΑ και σι αποτελείται από όλα τα στοιχεία που υπάρχουν και στα δύο ΕΝΑ ή σι, συμπεριλαμβανομένων των στοιχείων και των δύο συνόλων. Η διασταύρωση υποδηλώνεται με A U B.
• Το συμπλήρωμα του σετ ΕΝΑ αποτελείται από όλα τα στοιχεία που δεν είναι στοιχεία του ΕΝΑ. Αυτό το συμπλήρωμα υποδηλώνεται με Α^ντο.

Τώρα που έχουμε υπενθυμίσει αυτές τις στοιχειώδεις λειτουργίες, θα δούμε τη δήλωση των νόμων του De Morgan. Για κάθε ζευγάρι συνόλων ΕΝΑ και σι έχουμε:

1. (ΕΝΑ ∩ σι)^ντο = ΕΝΑ^ντο U σι^ντο
2. (ΕΝΑ U σι)^ντο = ΕΝΑ^ντο ∩ σι^ντο

Αυτές οι δύο δηλώσεις μπορούν να παρουσιαστούν με τη χρήση διαγραμμάτων Venn. Όπως φαίνεται παρακάτω, μπορούμε να αποδείξουμε χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα. Προκειμένου να αποδείξουμε ότι αυτές οι δηλώσεις είναι αληθινές, πρέπει να τα αποδείξουν χρησιμοποιώντας ορισμούς των λειτουργιών θεωρίας συνόλων.

Για παράδειγμα, εξετάστε το σύνολο των πραγματικούς αριθμούς από 0 έως 5. Το γράψαμε σε σημειωμένο διαστήματος [0, 5]. Μέσα σε αυτό το σετ έχουμε ΕΝΑ = [1, 3] και σι = [2, 4]. Επιπλέον, μετά την εφαρμογή των στοιχειωδών λειτουργιών μας έχουμε:

• Το συμπλήρωμα ΕΝΑ^ντο = [0, 1) U (3, 5)
• Το συμπλήρωμα σι^ντο = [0, 2) U (4, 5)
• Η Ενωση ΕΝΑ U σι = [1, 4]
• Η διασταύρωση ΕΝΑ ∩ σι = [2, 3]

Αρχίζουμε με τον υπολογισμό της ένωσης ΕΝΑ^ντο U σι^ντο. Βλέπουμε ότι η ένωση των [0, 1) U (3, 5) με το [0, 2] U (4, 5) είναι [0, 2] U (3,5). Η διασταύρωση ΕΝΑ ∩ σι είναι [2, 3]. Βλέπουμε ότι το συμπλήρωμα αυτού του συνόλου [2, 3] είναι επίσης [0, 2] U (3, 5). Με αυτόν τον τρόπο το καταδείξαμε ΕΝΑ^ντο U σι^ντο = (ΕΝΑ ∩ σι)^ντο.

Τώρα βλέπουμε τη διασταύρωση των [0, 1) U (3, 5) με [0, 2] U (4, 5) είναι [0, 1) U (4,5). Επίσης βλέπουμε ότι το συμπλήρωμα του [1, 4] είναι επίσης [0, 1] U (4, 5). Με αυτόν τον τρόπο το καταδείξαμε ΕΝΑ^ντο ∩ σι^ντο = (ΕΝΑ U σι)^ντο.

Σε όλη την ιστορία της λογικής, άνθρωποι όπως Αριστοτέλης και ο William of Ockham έχουν κάνει δηλώσεις ισοδύναμες με τους νόμους του De Morgan.

Οι νόμοι του De Morgan ονομάζονται από τον Augustus De Morgan, ο οποίος έζησε από το 1806-1871. Αν και δεν ανακάλυψε αυτούς τους νόμους, ήταν ο πρώτος που εισήγαγε αυτές τις δηλώσεις χρησιμοποιώντας επίσημα μια μαθηματική διατύπωση στην προτεινόμενη λογική.