Το διάστημα εμπιστοσύνης για μια μέση όταν γνωρίζουμε τη Sigma

Σε επαγωγική στατιστική, ένας από τους κύριους στόχους είναι να εκτιμήσει ένα άγνωστο πληθυσμόςπαράμετρο. Ξεκινάτε με ένα στατιστικό δείγμα, και από αυτό, μπορείτε να καθορίσετε ένα εύρος τιμών για την παράμετρο. Αυτό το εύρος τιμών ονομάζεται a διάστημα εμπιστοσύνης.

Τα διαστήματα εμπιστοσύνης είναι όλα παρόμοια μεταξύ τους με μερικούς τρόπους. Πρώτον, πολλά διαστήματα εμπιστοσύνης δύο όψεων έχουν την ίδια μορφή:

Εκτίμηση ± Περιθώριο σφάλματος

Δεύτερον, τα βήματα για τον υπολογισμό των διαστημάτων εμπιστοσύνης είναι πολύ παρόμοια, ανεξάρτητα από το είδος του διαστήματος εμπιστοσύνης που προσπαθείτε να βρείτε. Ο συγκεκριμένος τύπος διαστήματος εμπιστοσύνης που θα εξεταστεί παρακάτω είναι ένα διμερές διάστημα εμπιστοσύνης για έναν μέσο πληθυσμό όταν γνωρίζετε τον πληθυσμό τυπική απόκλιση. Επίσης, υποθέστε ότι εργάζεστε με έναν πληθυσμό που είναι διανέμονται κανονικά.

Παρακάτω είναι μια διαδικασία για να βρείτε το επιθυμητό διάστημα εμπιστοσύνης. Αν και όλα τα βήματα είναι σημαντικά, το πρώτο είναι ιδιαίτερα το εξής:

1. Ελέγξτε τις συνθήκες: Αρχίστε εξασφαλίζοντας ότι πληρούνται οι όροι για το διάστημα εμπιστοσύνης σας. Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζετε την τιμή της τυπικής απόκλισης του πληθυσμού, που υποδηλώνεται από το Ελληνική επιστολή sigma σ. Επίσης, υποθέστε μια κανονική κατανομή.
2. Υπολογίστε την εκτίμηση: Υπολογίστε την παράμετρο του πληθυσμού - σε αυτή την περίπτωση, τον μέσο όρο του πληθυσμού - με τη χρήση στατιστικής, η οποία σε αυτό το πρόβλημα είναι η μέση τιμή του δείγματος. Αυτό περιλαμβάνει τη διαμόρφωση ενός απλό τυχαίο δείγμα από τον πληθυσμό. Μερικές φορές, μπορείτε να υποθέσετε ότι το δείγμα σας είναι a απλό τυχαίο δείγμα, ακόμη και αν δεν πληροί τον αυστηρό ορισμό.
3. Κρίσιμη τιμή: Αποκτήστε την κρίσιμη τιμή z^* που αντιστοιχεί στο επίπεδο εμπιστοσύνης σας. Αυτές οι τιμές βρίσκονται με διαβούλευση με το a πίνακας z-σκορ ή χρησιμοποιώντας το λογισμικό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν πίνακα z-score γιατί γνωρίζετε την αξία της τυπικής απόκλισης του πληθυσμού και υποθέτετε ότι ο πληθυσμός διανέμεται κανονικά. Οι συνήθεις κρίσιμες τιμές είναι 1.645 για επίπεδο εμπιστοσύνης 90%, 1.960 για επίπεδο εμπιστοσύνης 95% και 2.576 για επίπεδο εμπιστοσύνης 99%.
4. Περιθώριο σφάλματος: Υπολογίστε το περιθώριο σφάλματος z^* σ /√n, που n είναι το μέγεθος του απλού τυχαίου δείγματος που δημιουργήσατε.
5. Καταλήγω: Ολοκληρώστε την εκτίμηση και το περιθώριο σφάλματος. Αυτό μπορεί να εκφραστεί ως είτε Εκτίμηση ± Περιθώριο σφάλματος ή ως Εκτίμηση - περιθώριο σφάλματος προς το Εκτίμηση + Περιθώριο σφάλματος. Βεβαιωθείτε ότι έχετε δηλώσει σαφώς το επίπεδο εμπιστοσύνης που συνδέεται με το διάστημα εμπιστοσύνης σας.

Για να δείτε πώς μπορείτε να δημιουργήσετε ένα διάστημα εμπιστοσύνης, χρησιμοποιήστε ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζετε ότι οι βαθμολογίες IQ όλων των εισερχομένων πρωτοετών φοιτητών κανονικά κατανέμονται με τυπική απόκλιση 15. Έχετε ένα απλό τυχαίο δείγμα 100 πρωτοετών και η μέση βαθμολογία IQ για αυτό το δείγμα είναι 120. Βρείτε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 90% για τη μέση βαθμολογία IQ για ολόκληρο τον πληθυσμό των εισερχόμενων πρωτοετών φοιτητών.

Εργαστείτε μέσα από τα βήματα που περιγράφηκαν παραπάνω:

1. Ελέγξτε τις συνθήκες: Οι συνθήκες έχουν ικανοποιηθεί αφού έχετε ενημερώσει ότι η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι 15 και ότι πρόκειται για κανονική κατανομή.
2. Υπολογίστε την εκτίμηση: Έχετε πει ότι έχετε ένα απλό τυχαίο δείγμα μεγέθους 100. Το μέσο IQ για αυτό το δείγμα είναι 120, επομένως αυτή είναι η εκτίμησή σας.
3. Κρίσιμη τιμή: Η κρίσιμη τιμή για το επίπεδο εμπιστοσύνης 90% δίνεται από το z^* = 1.645.
4. Περιθώριο σφάλματος: Χρήση το περιθώριο του τύπου σφάλματος και να λάβετε ένα σφάλμα z^* σ /√n = (1.645)(15) /√(100) = 2.467.
5. Καταλήγω: Συμπληρώστε τοποθετώντας τα πάντα μαζί. Ένα διάστημα εμπιστοσύνης 90% για τη μέση βαθμολογία IQ του πληθυσμού είναι 120 ± 2.467. Εναλλακτικά, μπορείτε να δηλώσετε αυτό το διάστημα εμπιστοσύνης ως 117.5325 έως 122.4675.

Τα διαστήματα εμπιστοσύνης του παραπάνω τύπου δεν είναι πολύ ρεαλιστικά. Είναι πολύ σπάνιο να γνωρίζουμε την τυπική απόκλιση του πληθυσμού αλλά δεν γνωρίζουμε τον μέσο όρο του πληθυσμού. Υπάρχουν τρόποι με τους οποίους αυτή η μη ρεαλιστική υπόθεση μπορεί να αφαιρεθεί.

Ενώ έχετε αναλάβει μια κανονική διανομή, αυτή η υπόθεση δεν χρειάζεται να κρατήσει. Ωραία δείγματα, τα οποία δεν παρουσιάζουν ισχυρή skewness ή να έχετε οποιεσδήποτε απομεινάρια, μαζί με ένα αρκετά μεγάλο μέγεθος δείγματος, σας επιτρέπουν να επικαλεστείτε κεντρικό όριο όριο. Ως αποτέλεσμα, δικαιολογείτε τη χρήση ενός πίνακα με τα αποτελέσματα z, ακόμη και για τους πληθυσμούς που δεν διανέμονται κανονικά.