Η διακύμανση της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ένα σημαντικό χαρακτηριστικό. Αυτός ο αριθμός υποδεικνύει την εξάπλωση μιας κατανομής και διαπιστώνεται με τον τετραγωνισμό της τυπική απόκλιση. Μία συνήθως χρησιμοποιούμενη διακριτική διανομή είναι αυτή της διανομής Poisson. Θα δούμε πώς να υπολογίσουμε τη διακύμανση της κατανομής Poisson με την παράμετρο λ.
Η διανομή Poisson
Οι κατανομές Poisson χρησιμοποιούνται όταν έχουμε μια αλληλουχία κάποιου είδους και μετρώνται διακριτές αλλαγές μέσα σε αυτό το συνεχές. Αυτό συμβαίνει όταν εξετάζουμε τον αριθμό των ατόμων που φτάνουν σε ένα μετρητή εισιτηρίων ταινιών κατά τη διάρκεια μιας ώρας, παρακολουθείτε ο αριθμός των αυτοκινήτων που διέρχονται από μια διασταύρωση με στάση τεσσάρων δρόμων ή μετράνε τον αριθμό των ελαττωμάτων που εμφανίζονται σε ένα μήκος σύρμα.
Αν κάνουμε κάποιες αποσαφηνιστικές υποθέσεις σε αυτά τα σενάρια, τότε αυτές οι καταστάσεις ταιριάζουν με τις συνθήκες για μια διαδικασία Poisson. Στη συνέχεια, λέμε ότι η τυχαία μεταβλητή, η οποία μετρά τον αριθμό των αλλαγών, έχει κατανομή Poisson.
Η κατανομή Poisson στην πραγματικότητα αναφέρεται σε μια άπειρη οικογένεια διανομών. Αυτές οι κατανομές είναι εφοδιασμένες με μία μόνο παράμετρο λ. Η παράμετρος είναι θετική πραγματικός αριθμός που συνδέεται στενά με τον αναμενόμενο αριθμό αλλαγών που παρατηρούνται στο συνεχές. Επιπλέον, θα δούμε ότι αυτή η παράμετρος είναι ίση όχι μόνο με την σημαίνω της διανομής αλλά και της διακύμανσης της διανομής.
Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας για μια κατανομή Poisson δίνεται από:
φά(Χ) = (λΧμι-λ)/Χ!
Σε αυτή την έκφραση, το γράμμα μι είναι ένας αριθμός και είναι η μαθηματική σταθερά με τιμή περίπου ίση με 2.718281828. Η μεταβλητή Χ μπορεί να είναι οποιοσδήποτε μη αρνητικός ακέραιος αριθμός.
Υπολογισμός της απόκλισης
Για να υπολογίσουμε τον μέσο όρο μιας διανομής Poisson, χρησιμοποιούμε αυτή τη διανομή λειτουργία δημιουργίας στιγμών. Αυτό το βλέπουμε:
Μ( t ) = E [μιtX] = Σ μιtXφά( Χ) = ΣμιtX λΧμι-λ)/Χ!
Τώρα θυμόμαστε τη σειρά Maclaurin για μιu. Από κάθε παράγωγο της συνάρτησης μιu είναι μιu, όλα αυτά τα παράγωγα που αξιολογούνται στο μηδέν μας δίνουν 1. Το αποτέλεσμα είναι η σειρά μιu = Σ un/n!.
Με τη χρήση της σειράς Maclaurin για μιu, μπορούμε να εκφράσουμε τη λειτουργία δημιουργίας στιγμής όχι ως σειρά, αλλά σε κλειστή μορφή. Συνδυάζουμε όλους τους όρους με τον εκθέτη του Χ. Ετσι Μ(t) = μιλ(μιt - 1).
Τώρα βρίσκουμε τη διακύμανση λαμβάνοντας το δεύτερο παράγωγο του Μ και την αξιολόγηση αυτού στο μηδέν. Από Μ’(t) =λμιtΜ(t), χρησιμοποιούμε τον κανόνα του προϊόντος για να υπολογίσουμε το δεύτερο παράγωγο:
Μ’’(t)=λ2μι2tΜ’(t) + λμιtΜ(t)
Το αξιολογούμε αυτό στο μηδέν και το βρίσκουμε Μ’’(0) = λ2 + λ. Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε το γεγονός αυτό Μ'(0) = λ για τον υπολογισμό της διακύμανσης.
Var (Χ) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
Αυτό δείχνει ότι η παράμετρος λ δεν είναι μόνο ο μέσος όρος της κατανομής Poisson, αλλά και η διακύμανση της.