Παραδείγματα διαστημάτων εμπιστοσύνης για μέσα

Ένα από τα σημαντικότερα κομμάτια των στατιστικών στοιχείων είναι η ανάπτυξη τρόπων υπολογισμού διαστήματα εμπιστοσύνης. Τα διαστήματα εμπιστοσύνης μας παρέχουν έναν τρόπο εκτίμησης ενός πληθυσμού παράμετρο. Αντί να πούμε ότι η παράμετρος είναι ίση με μια ακριβή τιμή, λέμε ότι η παράμετρος εμπίπτει σε ένα εύρος τιμών. Αυτό το εύρος τιμών είναι συνήθως μια εκτίμηση, μαζί με ένα περιθώριο λάθους που προσθέτουμε και αφαιρούμε από την εκτίμηση.

Σε κάθε διάστημα είναι προσαρμοσμένο ένα επίπεδο εμπιστοσύνης. Το επίπεδο εμπιστοσύνης δίνει μια μέτρηση για το πόσο συχνά, μακροπρόθεσμα, η μέθοδος που χρησιμοποιείται για τη λήψη του διαστήματος εμπιστοσύνης μας καταγράφει την πραγματική παράμετρο πληθυσμού.

Είναι χρήσιμο όταν μαθαίνουμε στατιστικά στοιχεία για να δούμε κάποια παραδείγματα. Παρακάτω θα δούμε διάφορα παραδείγματα διαστημάτων εμπιστοσύνης σχετικά με τον μέσο όρο του πληθυσμού. Θα δούμε ότι η μέθοδος που χρησιμοποιούμε για να κατασκευάσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης σχετικά με ένα μέσο εξαρτάται από περαιτέρω πληροφορίες σχετικά με τον πληθυσμό μας. Συγκεκριμένα, η προσέγγιση που λαμβάνουμε εξαρτάται από το εάν γνωρίζουμε ή όχι την τυπική απόκλιση του πληθυσμού ή όχι.

Αρχίζουμε με ένα απλό τυχαίο δείγμα 25 ένα συγκεκριμένο είδος νεογνών και μετράμε τις ουρές τους. Το μέσο μήκος ουράς του δείγματος μας είναι 5 cm.

1. Εάν γνωρίζουμε ότι το 0,2 cm είναι η τυπική απόκλιση των μήκων ουράς όλων των νεοσσών του πληθυσμού, τότε τι είναι ένα διάστημα εμπιστοσύνης 90% για το μέσο μήκος ουράς όλων των νεογνών του πληθυσμού;
2. Εάν γνωρίζουμε ότι το 0.2 cm είναι η τυπική απόκλιση των μήκων ουράς όλων των νεογνών του πληθυσμού, τότε ποιο είναι το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο μήκος ουράς όλων των νεκρών του πληθυσμού;
3. Εάν διαπιστώσουμε ότι το 0,2 cm είναι η τυπική απόκλιση των μηκών ουράς των νεαρών στο δείγμα μας πληθυσμού, τότε αυτό που είναι ένα διάστημα εμπιστοσύνης 90% για το μέσο μήκος ουράς όλων των νεκρών στο πληθυσμός?
4. Εάν διαπιστώσουμε ότι το 0,2 cm είναι η τυπική απόκλιση των μηκών ουράς των νεαρών στο δείγμα μας πληθυσμού, τότε αυτό που είναι ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% για το μέσο μήκος ουράς όλων των νεογνών στο πληθυσμός?

Αρχίζουμε με την ανάλυση καθενός από αυτά τα προβλήματα. Στα δύο πρώτα προβλήματα που αντιμετωπίζουμε γνωρίζουν την αξία της τυπικής απόκλισης του πληθυσμού. Η διαφορά μεταξύ αυτών των δύο προβλημάτων είναι ότι το επίπεδο εμπιστοσύνης είναι μεγαλύτερο στο # 2 από ό, τι είναι για το # 1.

Στο δεύτερο δύο προβλήματα η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι άγνωστη. Για αυτά τα δύο προβλήματα θα υπολογίσουμε αυτήν την παράμετρο με το δείγμα τυπική απόκλιση. Όπως είδαμε στα δύο πρώτα προβλήματα, εδώ έχουμε και διαφορετικά επίπεδα εμπιστοσύνης.

Θα υπολογίσουμε λύσεις για κάθε ένα από τα παραπάνω προβλήματα.

1. Δεδομένου ότι γνωρίζουμε την τυπική απόκλιση του πληθυσμού, θα χρησιμοποιήσουμε έναν πίνακα z-scores. Η αξία του z που αντιστοιχεί σε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 90% είναι 1.645. Χρησιμοποιώντας το για το περιθώριο σφάλματος έχουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 5 - 1.645 (0.2 / 5) έως 5 + 1.645 (0.2 / 5). (Οι 5 στον παρονομαστή εδώ είναι επειδή έχουμε πάρει την τετραγωνική ρίζα των 25). Αφού πραγματοποιήσαμε την αριθμητική έχουμε 4.934 cm έως 5.066 cm ως ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο πληθυσμό.
2. Δεδομένου ότι γνωρίζουμε την τυπική απόκλιση του πληθυσμού, θα χρησιμοποιήσουμε έναν πίνακα z-scores. Η αξία του z που αντιστοιχεί σε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% είναι 1,96. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το περιθώριο σφάλματος έχουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 5 - 1.96 (0.2 / 5) έως 5 + 1.96 (0.2 / 5). Αφού πραγματοποιήσαμε την αριθμητική έχουμε 4.922 cm έως 5.078 cm ως ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο πληθυσμό.
3. Εδώ δεν γνωρίζουμε την τυπική απόκλιση του πληθυσμού, μόνο την τυπική απόκλιση του δείγματος. Έτσι θα χρησιμοποιήσουμε έναν πίνακα t-σκορ. Όταν χρησιμοποιούμε ένα τραπέζι t πρέπει να γνωρίζουμε πόσους βαθμούς ελευθερίας έχουμε. Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν 24 βαθμοί ελευθερίας, που είναι μικρότερο από μέγεθος δείγματος 25. Η αξία του t που αντιστοιχεί σε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 90% είναι 1,71. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το περιθώριο σφάλματος, έχουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 5 - 1.71 (0.2 / 5) έως 5 + 1.71 (0.2 / 5). Αφού πραγματοποιήσαμε την αριθμητική έχουμε 4.932 cm έως 5.068 cm ως ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο πληθυσμό.
4. Εδώ δεν γνωρίζουμε την τυπική απόκλιση του πληθυσμού, μόνο την τυπική απόκλιση του δείγματος. Έτσι θα χρησιμοποιήσουμε πάλι έναν πίνακα t-σκορ. Υπάρχουν 24 βαθμοί ελευθερίας, που είναι ένα μέγεθος μικρότερο από 25 δείγματα. Η αξία του t που αντιστοιχεί σε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% είναι 2,06. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το περιθώριο σφάλματος έχουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 5 - 2,06 (0,2 / 5) έως 5 + 2,06 (0,2 / 5). Αφού πραγματοποιήσαμε την αριθμητική έχουμε 4.912 cm έως 5.082 cm ως ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο όρο του πληθυσμού.

Υπάρχουν μερικά πράγματα που πρέπει να προσέξετε κατά τη σύγκριση αυτών των λύσεων. Το πρώτο είναι ότι σε κάθε περίπτωση καθώς το επίπεδο εμπιστοσύνης μας αυξάνεται, τόσο μεγαλύτερη είναι η αξία του z ή t ότι καταλήξαμε. Ο λόγος γι 'αυτό είναι ότι για να είμαστε πιο σίγουροι ότι πραγματικά καταγράψαμε το μέσο όρο του πληθυσμού στο διάστημα εμπιστοσύνης μας, χρειαζόμαστε ένα ευρύτερο διάστημα.

Το άλλο χαρακτηριστικό που πρέπει να σημειωθεί είναι ότι για ένα συγκεκριμένο διάστημα εμπιστοσύνης, εκείνοι που χρησιμοποιούν t είναι ευρύτερα από αυτά με z. Ο λόγος για αυτό είναι ότι α t η διανομή έχει μεγαλύτερη μεταβλητότητα στις ουρές της από μια κανονική κανονική κατανομή.

Το κλειδί για τη διόρθωση λύσεων αυτών των τύπων προβλημάτων είναι ότι αν γνωρίζουμε την τυπική απόκλιση του πληθυσμού, χρησιμοποιούμε έναν πίνακα z-ακόμη. Εάν δεν γνωρίζουμε την τυπική απόκλιση του πληθυσμού, τότε χρησιμοποιούμε πίνακα t βαθμολογίες.