Πιθανότητα μεγάλης ευθείας στο Yahtzee σε ένα ρολό

Το Yahtzee είναι ένα παιχνίδι με ζάρια που χρησιμοποιεί πέντε στάνταρ ζάρια με έξι όψεις. Σε κάθε στροφή, οι παίκτες λαμβάνουν τρία ρολά για να αποκτήσουν διάφορους στόχους. Μετά από κάθε κύλιση, ο παίκτης μπορεί να αποφασίσει ποια από τα ζάρια (αν υπάρχουν) πρέπει να διατηρηθούν και τα οποία πρόκειται να ανανεωθούν. Οι στόχοι περιλαμβάνουν μια ποικιλία διαφορετικών συνδυασμών, πολλά από τα οποία προέρχονται από το πόκερ. Κάθε διαφορετικός συνδυασμός αξίζει ένα διαφορετικό ποσό πόντων.

Δύο από τους τύπους συνδυασμών που πρέπει να κυλίσουν οι παίκτες καλούνται ευθείες: μια μικρή ευθεία και μια μεγάλη ευθεία. Όπως και τα poker straight, αυτοί οι συνδυασμοί αποτελούνται από διαδοχικά ζάρια. Οι μικρές ευθείες χρησιμοποιούν τέσσερα από τα πέντε ζάρια και οι μεγάλες ευθείες χρησιμοποιούν και τα πέντε ζάρια. Λόγω της τυχαίας κίνησης των ζαριών, η πιθανότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αναλυθεί το πόσο πιθανό είναι να κυλήσει μια μεγάλη ευθεία σε ένα μόνο κύλινδρο.

Υποθέτουμε ότι τα ζάρια που χρησιμοποιούνται είναι δίκαια και ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Έτσι υπάρχει ένα ενιαίο χώρο δείγματος που αποτελείται από όλους τους πιθανούς ρόλους των πέντε ζαριών. Παρόλο που ο Yahtzee επιτρέπει τρεις κυλίνδρους, για απλότητα θα εξετάσουμε μόνο την περίπτωση που θα αποκτήσουμε μια μεγάλη ευθεία σε ένα μόνο ρολό.

Εφόσον δουλεύουμε με ένα στολήδείγμα χώρου, ο υπολογισμός της πιθανότητας μας γίνεται ένας υπολογισμός δύο προβλημάτων καταμέτρησης. Η πιθανότητα μιας ευθείας είναι ο αριθμός των τρόπων για να κυλήσει ένα ευθεία, διαιρούμενο με τον αριθμό των αποτελεσμάτων στο χώρο του δείγματος.

Είναι πολύ εύκολο να μετρήσετε τον αριθμό των αποτελεσμάτων στο χώρο του δείγματος. Τρέχουμε πέντε ζάρια και καθένα από αυτά τα ζάρια μπορεί να έχει ένα από έξι διαφορετικά αποτελέσματα. Μια βασική εφαρμογή της αρχής πολλαπλασιασμού μας λέει ότι ο χώρος δείγματος έχει 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 αποτελέσματα. Αυτός ο αριθμός θα είναι ο παρονομαστής όλων των κλάσεων που χρησιμοποιούμε για τις πιθανότητές μας.

Στη συνέχεια, πρέπει να ξέρουμε πόσους τρόπους υπάρχουν για να κυλήσει ένα μεγάλο ευθεία. Αυτό είναι πιο δύσκολο από τον υπολογισμό του μεγέθους του χώρου δειγμάτων. Ο λόγος για τον οποίο αυτό είναι πιο δύσκολο είναι επειδή υπάρχει περισσότερη λεπτότητα στο πώς μετράμε.

Μια μεγάλη ευθεία είναι πιο δύσκολο να κυλήσει από μια μικρή ευθεία, αλλά είναι ευκολότερο να μετράται ο αριθμός των τρόπων κύλισης ενός μεγάλου κατ 'ευθείαν από τον αριθμό των τρόπων να κυλήσει μια μικρή ευθεία. Αυτός ο τύπος ευθεία αποτελείται από πέντε διαδοχικούς αριθμούς. Δεδομένου ότι υπάρχουν μόνο έξι διαφορετικοί αριθμοί στα ζάρια, υπάρχουν μόνο δύο πιθανές μεγάλες ευθείες: {1, 2, 3, 4, 5} και {2, 3, 4, 5, 6}.

Τώρα καθορίζουμε τον διαφορετικό αριθμό τρόπων να κυλήσουμε ένα συγκεκριμένο σύνολο ζαριών που μας δίνουν ένα ευθύ. Για μια μεγάλη ευθεία με τα ζάρια {1, 2, 3, 4, 5} μπορούμε να έχουμε τα ζάρια με οποιαδήποτε σειρά. Έτσι, οι ακόλουθοι είναι διαφορετικοί τρόποι να κυλήσετε το ίδιο ευθύ:

• 1, 2, 3, 4, 5
• 5, 4, 3, 2, 1
• 1, 3, 5, 2, 4

Θα ήταν δύσκολο να καταγράψουμε όλους τους πιθανούς τρόπους για να πάρετε 1, 2, 3, 4 και 5. Δεδομένου ότι χρειάζεται μόνο να γνωρίζουμε πόσοι τρόποι υπάρχουν για να γίνει αυτό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ορισμένες βασικές τεχνικές καταμέτρησης. Σημειώνουμε ότι το μόνο που κάνουμε είναι μετατόπιση τα πέντε ζάρια. Υπάρχουν 5! = 120 τρόποι να γίνει αυτό. Δεδομένου ότι υπάρχουν δύο συνδυασμοί ζαριών για να δημιουργήσετε μια μεγάλη ευθεία και 120 τρόπους για να κυλήσετε καθένα από αυτά, υπάρχουν 2 x 120 = 240 τρόποι για να κυλήσετε μια μεγάλη ευθεία.

Τώρα η πιθανότητα κύλισης ενός μεγάλου ευθύγραμμου είναι ένας απλός υπολογισμός διαίρεσης. Δεδομένου ότι υπάρχουν 240 τρόποι για να κυλήσετε μια μεγάλη ευθεία σε ένα μόνο ρολό και υπάρχουν 7776 ρολά των πέντε ζάρια, η πιθανότητα κύλισης ενός μεγάλου ευθείου είναι 240/7776, που είναι κοντά στο 1/32 και 3.1%.

Φυσικά, είναι πιθανότερο από το ότι ο πρώτος κύλινδρος δεν είναι ίσιος. Αν συμβαίνει αυτό, τότε επιτρέπονται δύο ακόμα ρολά κάνοντας μια ευθεία πολύ πιο πιθανή. Η πιθανότητα είναι πολύ πιο περίπλοκη να προσδιοριστεί εξαιτίας όλων των πιθανών καταστάσεων που θα πρέπει να ληφθούν υπόψη.