Ένα πράγμα που είναι μεγάλο για τα μαθηματικά είναι ο τρόπος που φαινομενικά άσχετες περιοχές του θέματος συναντώνται με εκπληκτικούς τρόπους. Ένα παράδειγμα αυτού είναι η εφαρμογή μιας ιδέας από τον λογισμό στο καμπύλη καμπάνας. Ένα εργαλείο στο λογισμικό που είναι γνωστό ως παράγωγο χρησιμοποιείται για να απαντήσει στην ακόλουθη ερώτηση. Πού είναι τα σημεία καμπής στο γράφημα της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας για το κανονικό διανομή?
Οι καμπύλες έχουν μια ποικιλία χαρακτηριστικών που μπορούν να ταξινομηθούν και να κατηγοριοποιηθούν. Ένα στοιχείο σχετικά με τις καμπύλες που μπορούμε να εξετάσουμε είναι εάν το γράφημα μιας συνάρτησης αυξάνεται ή μειώνεται. Ένα άλλο χαρακτηριστικό σχετίζεται με κάτι γνωστό ως κοιλότητα. Αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως η κατεύθυνση που αντιμετωπίζει ένα τμήμα της καμπύλης. Πιο τυπικά η κοιλότητα είναι η κατεύθυνση καμπυλότητας.
Ένα τμήμα μιας καμπύλης λέγεται ότι είναι κοίλο προς τα πάνω εάν είναι διαμορφωμένο όπως το γράμμα U. Ένα τμήμα μιας καμπύλης είναι κοίλο προς τα κάτω εάν έχει σχήμα σαν το ακόλουθο ∩. Είναι εύκολο να θυμηθεί κανείς τι φαίνεται αυτό, αν σκεφτούμε ότι ανοίγει ένα σπήλαιο είτε προς τα πάνω είτε για κοίλα προς τα πάνω ή προς τα κάτω για κοίλα κάτω. Ένα σημείο καμπής είναι όπου μια καμπύλη αλλάζει κοιλότητα. Με άλλα λόγια, είναι ένα σημείο όπου μια καμπύλη πηγαίνει από κοίλο έως κοίλο προς τα κάτω ή αντίστροφα.
Στο λογισμικό το παράγωγο είναι ένα εργαλείο που χρησιμοποιείται με διάφορους τρόπους. Ενώ η πιο γνωστή χρήση του παραγώγου είναι να προσδιοριστεί η κλίση μιας γραμμής εφαπτομένης σε μια καμπύλη σε ένα δεδομένο σημείο, υπάρχουν και άλλες εφαρμογές. Μία από αυτές τις εφαρμογές έχει να κάνει με την εύρεση σημείων καμπής του γραφήματος μιας συνάρτησης.
Αν το γράφημα του y = f (x) έχει ένα σημείο καμπής στο x = a, τότε το δεύτερο παράγωγο του φά αξιολογήθηκε σε ένα είναι μηδέν. Γράφουμε αυτό σε μαθηματική σημείωση ως f '' (α) = 0. Εάν το δεύτερο παράγωγο μιας συνάρτησης είναι μηδέν σε ένα σημείο, αυτό δεν σημαίνει αυτομάτως ότι έχουμε βρει ένα σημείο καμπής. Ωστόσο, μπορούμε να αναζητήσουμε πιθανά σημεία καμπής βλέποντας όπου το δεύτερο παράγωγο είναι μηδέν. Θα χρησιμοποιήσουμε αυτή τη μέθοδο για να καθορίσουμε τη θέση των σημείων καμπής της κανονικής κατανομής.
Από αυτό είναι εύκολο να δείτε ότι τα σημεία καμπής εμφανίζονται εκεί x = μ ± σ. Με άλλα λόγια, τα σημεία καμπής βρίσκονται μια τυπική απόκλιση πάνω από τη μέση τιμή και μια τυπική απόκλιση κάτω από τον μέσο όρο.