Τι είναι η διανομή Cauchy

Μια κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής είναι σημαντική όχι για τις εφαρμογές της, αλλά για αυτό που μας λέει για τους ορισμούς μας. Η κατανομή Cauchy είναι ένα τέτοιο παράδειγμα, μερικές φορές αναφέρεται ως παθολογικό παράδειγμα. Ο λόγος για αυτό είναι ότι παρόλο που αυτή η κατανομή είναι σαφώς καθορισμένη και έχει σχέση με ένα φυσικό φαινόμενο, η κατανομή δεν έχει μέσο ούτε διακύμανση. Πράγματι, αυτή η τυχαία μεταβλητή δεν διαθέτει a λειτουργία δημιουργίας στιγμών.

Ορίζουμε τη διανομή Cauchy με την εξέταση ενός περιστρεφόμενου στοιχείου, όπως ο τύπος σε ένα επιτραπέζιο παιχνίδι. Το κέντρο αυτού του κλωστή θα αγκυροβοληθεί στο y άξονα στο σημείο (0, 1). Αφού περιστρέψουμε τον κλώστη, θα επεκτείνουμε το τμήμα γραμμής του κλωβού μέχρι να περάσει τον άξονα x. Αυτό θα οριστεί ως τυχαία μεταβλητή μας Χ.

Αφήνουμε w να υποδηλώσει τη μικρότερη από τις δύο γωνίες που κάνει ο περιστρεφόμενος με το y άξονας. Υποθέτουμε ότι ο κλώστης αυτός είναι εξίσου πιθανό να σχηματίσει οποιαδήποτε γωνία ως άλλη, και έτσι το W έχει ομοιόμορφη κατανομή που κυμαίνεται από -π / 2 έως π / 2

Η βασική τριγωνομετρία μας παρέχει μια σύνδεση μεταξύ των δύο τυχαίων μεταβλητών μας:

Χ = ηλιοκαίωW.

Η σωρευτική λειτουργία κατανομής τηςΧπροέρχεται ως εξής:

H(Χ) = Π(Χ < Χ) = Π(ηλιοκαίωW < Χ) = Π(W < arctanΧ)

Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε το γεγονός αυτόW είναι ομοιόμορφη και αυτό μας δίνει:

H(Χ) = 0.5 + (arctanΧ)/π

Για τη λήψη της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας διαφοροποιούμε τη συνάρτηση συσσωρευμένης πυκνότητας. Το αποτέλεσμα είναι h(x) = 1/[π (1 + Χ²) ]

Αυτό που κάνει τη διανομή Cauchy ενδιαφέρουσα είναι ότι παρόλο που το έχουμε ορίσει με τη χρήση του φυσικού συστήματος του a τυχαία μεταβλητή, μια τυχαία μεταβλητή με κατανομή Cauchy δεν έχει μέση τιμή, διακύμανση ή στιγμή που δημιουργεί λειτουργία. Ολα τα στιγμές για την προέλευση που χρησιμοποιούνται για τον ορισμό αυτών των παραμέτρων δεν υπάρχουν.

Αρχίζουμε εξετάζοντας το μέσο. Ο μέσος όρος ορίζεται ως η αναμενόμενη τιμή της τυχαίας μας μεταβλητής και έτσι E [Χ] = ∫_-∞^∞Χ /[π (1 + Χ²)] δΧ.

Ενσωματώνουμε χρησιμοποιώντας υποκατάσταση. Αν θέσουμε u = 1 +Χ² τότε βλέπουμε ότι δu = 2Χ ρεΧ. Αφού γίνει η αντικατάσταση, το προκύπτον ακατάλληλο ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει. Αυτό σημαίνει ότι η αναμενόμενη τιμή δεν υπάρχει και ότι ο μέσος όρος είναι απροσδιόριστος.

Ομοίως, η διακύμανση και η λειτουργία δημιουργίας ροπής είναι απροσδιόριστες.

Η κατανομή Cauchy ονομάζεται για το γαλλικό μαθηματικό Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857). Παρά την ονομασία αυτή για την Cauchy, οι πληροφορίες σχετικά με τη διανομή δημοσιεύτηκαν για πρώτη φορά από το Poisson.