Μαθηματικές ιδιότητες των κυμάτων

Φυσικά κύματα, ή μηχανικά κύματα, σχηματίζουν μέσω της δόνησης ενός μέσου, είτε πρόκειται για μια χορδή, για το φλοιό της Γης, είτε για σωματίδια αερίων και υγρών. Τα κύματα έχουν μαθηματικές ιδιότητες που μπορούν να αναλυθούν για να κατανοήσουν την κίνηση του κύματος. Αυτό το άρθρο εισάγει αυτές τις γενικές ιδιότητες κύματος, και όχι πώς να τις εφαρμόσει σε συγκεκριμένες καταστάσεις στη φυσική.

Υπάρχουν δύο τύποι μηχανικών κυμάτων.

Το Α είναι τέτοιο ώστε οι μετατοπίσεις του μέσου να είναι κάθετες (εγκάρσιες) προς την κατεύθυνση της διαδρομής του κύματος κατά μήκος του μέσου. Ο δονητής σε μια περιοδική κίνηση, έτσι ώστε τα κύματα να κινούνται κατά μήκος του, είναι ένα εγκάρσιο κύμα, όπως και τα κύματα στον ωκεανό.

ΕΝΑ διαμήκους κύματος είναι τέτοια ώστε οι μετατοπίσεις του μέσου να είναι εμπρός και πίσω κατά μήκος της ίδιας κατεύθυνσης με το ίδιο το κύμα. Τα ηχητικά κύματα, όπου τα σωματίδια αέρα ωθούνται προς τα εμπρός κατά την κατεύθυνση της κίνησης, είναι ένα παράδειγμα διαμήκους κύματος.

Ακόμα κι αν τα κύματα που συζητήθηκαν σε αυτό το άρθρο θα αναφέρονται σε ταξίδια σε ένα μέσο, ​​τα μαθηματικά που εισάγονται εδώ μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση ιδιοτήτων των μη-μηχανικών κυμάτων. Η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, για παράδειγμα, είναι ικανή να ταξιδέψει μέσα από κενό χώρο, αλλά εξακολουθεί να έχει τις ίδιες μαθηματικές ιδιότητες με άλλα κύματα. Για παράδειγμα, το Ένταση Doppler για ηχητικά κύματα είναι γνωστό, αλλά υπάρχει παρόμοια Ένταση Doppler για τα φωτεινά κύματα, και βασίζονται στις ίδιες μαθηματικές αρχές.

1. Τα κύματα μπορούν να θεωρηθούν ως διαταραχή στο μέσο γύρω από μια κατάσταση ισορροπίας, η οποία είναι γενικά σε κατάσταση ηρεμίας. Η ενέργεια αυτής της διαταραχής είναι αυτό που προκαλεί την κίνηση των κυμάτων. Μια δεξαμενή νερού βρίσκεται σε ισορροπία όταν δεν υπάρχουν κύματα, αλλά μόλις πέσει μια πέτρα μέσα σε αυτήν, η ισορροπία των σωματιδίων διαταράσσεται και αρχίζει η κίνηση του κύματος.
2. Η διαταραχή του κύματος ταξιδεύει, ή προωθούνται, με μια ορισμένη ταχύτητα, που ονομάζεται ταχύτητα κύματος (v).
3. Τα κύματα μεταφέρουν ενέργεια, αλλά δεν έχουν σημασία. Το ίδιο το μέσο δεν ταξιδεύει. τα μεμονωμένα σωματίδια υφίστανται κίνηση προς τα πίσω ή προς τα άνω ή προς τα κάτω γύρω από τη θέση ισορροπίας.

Για να περιγράψουμε μαθηματικά κίνηση κύματος, αναφερόμαστε στην έννοια του a κύματος, η οποία περιγράφει τη θέση ενός σωματιδίου στο μέσο ανά πάσα στιγμή. Οι πιο βασικές λειτουργίες κύματος είναι το ημιτονοειδές κύμα ή το ημιτονοειδές κύμα, το οποίο είναι α περιοδικό κύμα (δηλαδή ένα κύμα με επαναλαμβανόμενη κίνηση).

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι η συνάρτηση κύματος δεν απεικονίζει το φυσικό κύμα, αλλά είναι ένα γράφημα της μετατόπισης σχετικά με τη θέση ισορροπίας. Αυτό μπορεί να είναι μια σύγχυση έννοια, αλλά το χρήσιμο πράγμα είναι ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα ημιτονοειδές κύμα για να απεικονίσει τα πιο περιοδικά κινήσεις σε κύκλο ή ταλαντεύοντας ένα εκκρεμές, που δεν φαίνονται κατ 'ανάγκη σαν κύματα όταν βλέπετε την πραγματική κίνηση.

• ταχύτητα κύματος (v) - την ταχύτητα της διάδοσης του κύματος
• εύρος (ΕΝΑ) - το μέγιστο μέγεθος της μετατόπισης από την ισορροπία, σε μονάδες SI μετρητών. Γενικά, είναι η απόσταση από το μέσον ισορροπίας του κυματισμού μέχρι τη μέγιστη μετατόπισή του ή είναι το ήμισυ της συνολικής μετατόπισης του κύματος.
• περίοδος (Τ) - είναι ο χρόνος για έναν κύκλο κύματος (δύο παλμούς, ή από κορυφή έως κορυφή ή κατώτατο όριο), σε μονάδες SI δευτερολέπτων (αν και μπορεί να αναφέρεται ως "δευτερόλεπτα ανά κύκλο").
• συχνότητα (φά) - ο αριθμός των κύκλων σε μια μονάδα χρόνου. Η μονάδα SI της συχνότητας είναι η Hz (Hz) και

  1 Ηζ = 1 κύκλος / s = 1 s^-1

• γωνιακή συχνότητα (ω) - είναι 2π φορές σε συχνότητα, σε μονάδες SI ακτινών ανά δευτερόλεπτο.
• μήκος κύματος (λ) - η απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων στις αντίστοιχες θέσεις σε διαδοχικές επαναλήψεις στο κύμα, έτσι ώστε (για παράδειγμα) από μία κορυφή μέχρι το επόμενο, σε Μονάδες SI μετρητών.
• κύματος (κ) - που ονομάζεται επίσης σταθερά διάδοσης, αυτή η χρήσιμη ποσότητα ορίζεται ως 2 π διαιρούμενο με το μήκος κύματος, έτσι ώστε οι μονάδες SI είναι ακτινίδια ανά μέτρο.
• σφυγμός - ένα μισό μήκος κύματος, από ισορροπία πίσω

Ορισμένες χρήσιμες εξισώσεις για τον ορισμό των παραπάνω ποσοτήτων είναι:

v = λ / Τ = λ f

ω = 2 π f = 2 π/Τ

Τ = 1 / φά = 2 π/ω

κ = 2π/ω

ω = vk

Η κάθετη θέση ενός σημείου στο κύμα, y, μπορεί να βρεθεί ως συνάρτηση της οριζόντιας θέσης, Χ, και η ώρα, t, όταν το εξετάζουμε. Ευχαριστούμε τους καθημερινούς μαθηματικούς για να κάνουμε αυτό το έργο για εμάς και να αποκτήσουμε τις ακόλουθες χρήσιμες εξισώσεις για να περιγράψουμε την κίνηση κύματος:

y(x, t) = ΕΝΑ αμαρτία ω(t - Χ/v) = ΕΝΑ sin 2π f(t - Χ/v)

y(x, t) = ΕΝΑ sin 2π(t/Τ - Χ/v)

y (x, t) = ΕΝΑ αμαρτία (ω t - kx)

Ένα τελικό χαρακτηριστικό της συνάρτησης κυμάτων είναι ότι εφαρμόζεται λογισμός για να πάρει το δεύτερο παράγωγο αποδόσεις της εξίσωση κύματος, το οποίο είναι ένα ενδιαφέρον και μερικές φορές χρήσιμο προϊόν (το οποίο, για άλλη μια φορά, θα ευχαριστήσουμε τους μαθηματικούς για το ότι δεχόμαστε χωρίς να το αποδεικνύουμε):

ρε²y / dx² = (1 / v²) ρε²y / dt²

Το δεύτερο παράγωγο του y σε σχέση με Χ είναι ισοδύναμο με το δεύτερο παράγωγο του y σε σχέση με t διαιρούμενο με την ταχύτητα κύματος τετράγωνο. Η βασική χρησιμότητα αυτής της εξίσωσης είναι αυτή όποτε συμβαίνει, γνωρίζουμε ότι η λειτουργία y ενεργεί ως κύμα με ταχύτητα κύματος v και ως εκ τούτου, η κατάσταση μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας τη λειτουργία κύματος.